Questão 12 (Nível 2) da OBMEP 2013

Question

Uma piscina com fundo e paredes retangulares está totalmente revestida com azulejos quadrados iguais, todos inteiros. O fundo da piscina tem 231 azulejos e as quatro paredes têm um total de 1024 azulejos. Qual é, em número de azulejos, a profundidade da piscina?

A
15
B
16
C
18
D
20
E
21

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 12 (Nível 2) da OBMEP 2013

Nível 2 · Matemática: Divisibilidade, MMC e MDC

Uma piscina com fundo e paredes retangulares está totalmente revestida com azulejos quadrados iguais, todos inteiros. O fundo da piscina tem 231 azulejos e as quatro paredes têm um total de 1024 azulejos. Qual é, em número de azulejos, a profundidade da piscina?

A
15
B
16
C
18
D
20
E
21

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Vamos chamar de a, b e h, respectivamente, o comprimento, a largura e a profundidade da piscina, em número de azulejos. Em geral, o comprimento de uma piscina é maior do que a sua largura; vamos então supor que a \geq b. As duas paredes retangulares no comprimento da piscina têm um total de 2ah azulejos e as duas paredes retangulares na largura da piscina têm um total de 2bh azulejos. Como essas quatro paredes juntas têm 1024 azulejos, segue que (2a + 2b)h = 1024, ou seja, (a + b)h = 512; em particular, a + b é um divisor de 512. Por outro lado, temos ab = 231; como 231 = 3 \times 7 \times 11, as possibilidades para a e b são (21,11), (33,7), (77,3) e (231,1). Dessas, a única que nos dá uma soma a + b que divide 512 é (21,11); logo h = 512 \div (a + b) = 512 \div 32 = 16 azulejos.

Notamos que essa questão admite (acidentalmente) uma solução por teste de alternativas, como segue. De (a + b)h = 512 segue que h divide 512 = 2^9, ou seja, h (assim como a + b) deve ser uma potência de 2. Como 15, 18, 20 e 21 não são potências de 2, a única possibilidade é h = 16. Deve-se então verificar se o problema é consistente; para isso, determinamos a = 21 e b = 11 como acima, e essa tripla de valores de a, b e h satisfaz as condições do enunciado.

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Resolução comentada

Meça tudo em azulejos. Seja o fundo com a por b azulejos e a profundidade h. Então:

Fundo: ab = 231.
Paredes: duas de tamanho a \times h e duas de tamanho b \times h, logo 2ah + 2bh = 1024, ou seja, h(a+b) = 512.

Como 512 = 2^9, h e a+b são potências de 2.

Fatore o fundo: 231 = 3\cdot 7\cdot 11. As possibilidades para (a,b) são:

1\cdot 231, soma 232;
3\cdot 77, soma 80;
7\cdot 33, soma 40;
11\cdot 21, soma 32.

A soma precisa ser divisor de 512, isto é, potência de 2. Só serve 32 (as outras, 232, 80 e 40, têm fator diferente de 2 ou não dividem 512).

Assim, a+b = 32 e

h = \frac{512}{32} = 16.

Conferindo: paredes = 2\cdot 16\cdot 32 = 1024. Correto.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

A15 não divide 512, então não satisfaz h(a+b)=512.
C18 não divide 512, logo não serve.
D20 não divide 512, logo não serve.
E21 não divide 512; é só um dos lados do fundo (11 por 21).

Assuntos: Divisibilidade, MMC e MDC, Áreas e perímetros de polígonos.

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Questão 12 no caderno Nível 2 da OBMEP 2013

Fonte: OBMEP 2013 · Nível 2. Prova oficial ↗