Questão 13 (Nível 2) da OBMEP 2013

Question

Joãozinho tem duas caixas com o mesmo número de bolas. As bolas podem ser azuis, pesando cinco quilos cada uma, ou amarelas, pesando dois quilos cada uma.

Na primeira caixa, \frac{1}{15} das bolas são azuis. O peso total das bolas da segunda caixa é o dobro do peso total das bolas da primeira caixa. Qual é a fração de bolas azuis na segunda caixa?

A
\frac{4}{5}
B
\frac{7}{8}
C
\frac{2}{3}
D
\frac{2}{15}
E
\frac{1}{2}

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 13 (Nível 2) da OBMEP 2013

Nível 2 · Matemática: Razão e proporção

Joãozinho tem duas caixas com o mesmo número de bolas. As bolas podem ser azuis, pesando cinco quilos cada uma, ou amarelas, pesando dois quilos cada uma.

Na primeira caixa, \frac{1}{15} das bolas são azuis. O peso total das bolas da segunda caixa é o dobro do peso total das bolas da primeira caixa. Qual é a fração de bolas azuis na segunda caixa?

A
\frac{4}{5}
B
\frac{7}{8}
C
\frac{2}{3}
D
\frac{2}{15}
E
\frac{1}{2}

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Seja n o número comum de bolas nas caixas. O número de bolas azuis na primeira caixa é \frac{1}{15}n e o número de bolas amarelas é n - \frac{1}{15}n = \frac{14}{15}n. Logo, o peso das bolas da primeira caixa é 5 \times \frac{1}{15}n + 2 \times \frac{14}{15}n = \frac{33}{15}n\text{ kg}. Seja agora x o número de bolas azuis na segunda caixa; o número de bolas amarelas nessa caixa é então n - x e o peso das bolas nessa caixa é 5x + 2(n - x) = 3x + 2n. Segue que 3x + 2n = 2 \times \frac{33}{15}n = \frac{66}{15}n, o que nos dá x = \frac{1}{3}\left(\frac{66}{15} - 2\right)n = \frac{4}{5}n.

Logo a fração de bolas azuis na segunda caixa é \frac{4}{5}.

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Resolução comentada

Seja n o número de bolas em cada caixa. Vamos escolher n=15, pois assim \frac{1}{15} das bolas é um número inteiro (a fração não depende dessa escolha).

Primeira caixa:

Bolas azuis: \frac{1}{15}\cdot 15 = 1, que pesa 1\cdot 5 = 5 kg.
Bolas amarelas: 15-1=14, que pesam 14\cdot 2 = 28 kg.
Peso total: 5+28=33 kg.

Segunda caixa: o peso total é o dobro, ou seja, 2\cdot 33 = 66 kg, também com 15 bolas.

Seja a o número de bolas azuis na segunda caixa. Então há 15-a amarelas, e o peso é

5a + 2(15-a) = 66

5a + 30 - 2a = 66 \Rightarrow 3a = 36 \Rightarrow a = 12.

A fração de bolas azuis na segunda caixa é

\frac{12}{15}=\frac{4}{5}.

Verificação: 12\cdot 5 + 3\cdot 2 = 60+6 = 66 kg. Confere.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

BNão corresponde a nenhuma contagem possível com 15 bolas e peso total de 66 kg; não resulta da equação.
CDaria 10 bolas azuis em 15, com peso 50+10=60 kg, e não 66 kg.
DDaria 2 bolas azuis em 15, com peso 39 kg, muito abaixo de 66 kg.
EMetade azuis não leva ao peso de 66 kg; erro ao supor que dobrar o peso dobra a fração de azuis, ou ao fazer uma média simples.

Assunto: Razão e proporção.

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Questão 13 no caderno Nível 2 da OBMEP 2013

Fonte: OBMEP 2013 · Nível 2. Prova oficial ↗