Questão 9 (Nível 1) da OBMEP 2012

Resolução comentada

O quadrado maior tem lado 2 cm, então seu perímetro é 8 cm. A cada giro, o quadrado menor (lado 1 cm) rola sobre um de seus lados e avança 1 cm ao longo do contorno. Por isso, o contorno é percorrido em 8 giros, e a posição se repete a cada 8 giros.

Para achar a posição após o 2012º giro, calculamos o resto da divisão de 2012 por 8:

1. 2012 = 8 \times 251 + 4
2. O resto é 4, então a posição após 2012 giros é igual à posição após 4 giros.

Agora seguimos a figura, com o quadrado menor posicionado no contorno:

• Início: topo, à esquerda (ocupa a metade esquerda do lado superior).
• 1º giro: topo, à direita.
• 2º giro: lado direito, em cima.
• 3º giro: lado direito, embaixo.
• 4º giro: base, à direita (apoiado embaixo, na metade direita do lado inferior).

Portanto, depois de 4 giros o quadrado menor está embaixo, encostado na metade direita da base do quadrado maior, o que corresponde à posição oposta à inicial, após meia volta.

Nas alternativas, a figura A mostra o quadrado menor embaixo, à direita, apoiado na base do quadrado maior. A figura D mostra o menor embaixo, à esquerda. Logo, a correta é a A.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

• BMostra a posição inicial (topo, à esquerda), que ocorreria após 8 giros, não 4.
• CMostra o quadrado na lateral direita embaixo, que é a posição após 3 giros.
• DQuadrado embaixo, mas à esquerda, que seria a posição após 5 giros.
• EMostra o quadrado na lateral esquerda, em cima, posição após 7 giros.

Assuntos: Sequências e padrões, Transformações geométricas e localização.

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