Questão 1 (Nível 3) da OBMEP 2012

Resolução comentada

Cada lado do quadrado maior mede 2 cm e comporta 2 lados do quadrado menor (1 cm cada). Logo, o perímetro do quadrado maior é 8 cm, que corresponde a 8 posições de apoio do quadrado menor.

Pela figura, cada giro leva o quadrado menor de uma metade de lado para a seguinte, no sentido horário. Há 8 posições possíveis, e o quadrado menor volta à posição inicial a cada 8 giros.

As posições, em ordem a partir da inicial (giro 0):

1. Giro 0: lado superior, metade esquerda.
2. Giro 1: lado superior, metade direita.
3. Giro 2: lado direito, metade superior.
4. Giro 3: lado direito, metade inferior.
5. Giro 4: lado inferior, metade direita.
6. Giro 5: lado inferior, metade esquerda.
7. Giro 6: lado esquerdo, metade inferior.
8. Giro 7: lado esquerdo, metade superior.

Depois do giro 8, tudo se repete.

Agora calculamos o resto de 2012 na divisão por 8:

Portanto, o 2012º giro coincide com o 4º giro. Nele, o quadrado menor está apoiado na metade direita do lado inferior do quadrado maior.

Essa é a figura da alternativa A.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

• BÉ a posição inicial (giro 0 ou múltiplo de 8), que só ocorreria se o resto fosse 0.
• CÉ a posição do 3º giro (resto 3), um giro antes do correto.
• DÉ a posição do 5º giro (resto 5), um giro depois do correto.
• EÉ a posição do 7º giro (resto 7); confunde o resto da divisão.

Assunto: Sequências e padrões.

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