Questão 3 (Nível 2) da OBMEP 2012

Resolução comentada

Cada lado do quadrado maior mede 2 cm, e o quadrado pequeno tem lado 1 cm. Então cada lado do maior comporta 2 posições do quadrado pequeno, e o perímetro de 8 cm comporta 8 posições.

Pela figura, a posição inicial é no canto superior esquerdo, com o quadrado pequeno apoiado na metade esquerda do lado de cima. Cada giro avança uma posição no sentido horário:

1. Posição inicial (giro 0): topo, metade esquerda.
2. 1º giro: topo, metade direita.
3. 2º giro: lado direito, metade de cima.
4. 3º giro: lado direito, metade de baixo.
5. 4º giro: base, metade direita.
6. 5º giro: base, metade esquerda.
7. 6º giro: lado esquerdo, metade de baixo.
8. 7º giro: lado esquerdo, metade de cima.
9. 8º giro: volta ao topo, metade esquerda.

O ciclo se repete a cada 8 giros. Basta calcular o resto de 2012 por 8:

O resto é 4, então a posição após o 2012º giro é a mesma do 4º giro: quadrado pequeno na base, metade direita do lado inferior.

A figura A mostra o quadrado cinza apoiado na metade direita da face inferior.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

• BMostra a posição inicial (resto 0 ou 8 giros), mas o resto de 2012 por 8 é 4.
• CCorresponde ao 3º giro (lado direito, metade de baixo), um passo antes do correto.
• DCorresponde ao 5º giro (base, metade esquerda), um passo depois do correto.
• ECorresponde ao 7º giro (lado esquerdo, metade de cima), resto 7 e não 4.

Assunto: Sequências e padrões.

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