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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 10 (Nível 1) da OBMEP 2012

Nível 1 · Matemática: Sequências e padrões

Mônica dobrou um barbante ao meio três vezes seguidas, conforme a figura. Quantos pedaços de barbante ela obterá ao cortar o barbante com uma tesoura, como indicado pela linha pontilhada?

Ilustração mostrando a sequência em que um barbante é dobrado ao meio três vezes seguidas, com setas indicando o processo, até que uma tesoura é posicionada para cortá-lo ao longo de uma linha vertical pontilhada.

  1. A
    4
  2. B
    6
  3. C
    9
  4. D
    10
  5. E
    13
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Resolução comentada

Resolução comentada

Cada dobra ao meio dobra o número de camadas do barbante. Depois de três dobras, há 2^3 = 8 camadas, ou seja, 8 trechos de barbante lado a lado.

Um corte perpendicular atravessa essas 8 camadas e faz 8 cortes no barbante original.

O ponto que importa é que o barbante da figura é um fio com duas pontas soltas, e não um anel. Veja o que acontece com cada corte:

  1. Um fio reto cortado em n pontos distintos fica dividido em n+1 pedaços.
  2. Aqui n = 8 cortes, então temos 8 + 1 = 9 pedaços.

Conferindo com uma dobra só: o fio dobrado ao meio tem 2 camadas, o corte faz 2 cortes no fio e dá 3 pedaços (dois pedaços das pontas e um do meio). Isso confirma a regra de 2^k + 1 pedaços.

Para k = 3: 2^3 + 1 = 9.

Alternativa C.

Pegadinha: A alternativa que engana é a de 8 pedaços (número de camadas), que não aparece nas opções, mas leva a erro: o fio tem pontas soltas, então 8 cortes dão 9 pedaços.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AUsa só o número de dobras mais um (3+1), sem contar que as camadas dobram a cada dobra.
  • BConfunde o crescimento das camadas com uma soma (por exemplo, 3 dobras × 2), em vez de potência de 2.
  • DSoma 2 ao número de camadas (8+2), sem justificativa; para um fio, o certo é 8+1.
  • ENão corresponde a nenhuma contagem possível de camadas (8) mais 1; conta incorretamente os cortes.

Assunto: Sequências e padrões.

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Ver como caiu na prova Questão 10 no caderno Nível 1 da OBMEP 2012

Fonte: OBMEP 2012 · Nível 1. Prova oficial ↗