Questão 6 (Nível 2) da OBMEP 2012

Resolução comentada

Coloquei a figura em um plano, com a malha inclinada a 45°. Os vértices ficam em pontos de coordenadas inteiras (em cm), com o retângulo indo de (0,0) a (4,5).

A região cinzenta tem duas partes simétricas. Cada uma é um polígono, e a da esquerda tem vértices (0,0), (1,0), (2,1), (1,2), (2,4) e (1,5). Calculo a área dela pela fórmula de Gauss (shoelace), somando x_iy_{i+1}-x_{i+1}y_i para cada par de vértices consecutivos:

1. (0,0)\to(1,0): 0
2. (1,0)\to(2,1): 1\cdot1-2\cdot0=1
3. (2,1)\to(1,2): 2\cdot2-1\cdot1=3
4. (1,2)\to(2,4): 1\cdot4-2\cdot2=0
5. (2,4)\to(1,5): 2\cdot5-1\cdot4=6
6. (1,5)\to(0,0): 0

A soma é 10, então a área dessa parte é \dfrac{10}{2}=5\ \text{cm}^2.

A parte da direita é simétrica, logo também mede 5\ \text{cm}^2. As duas partes se tocam só em pontos, sem sobreposição.

Área cinzenta: 5+5=10\ \text{cm}^2.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

• BValor sem justificativa, que não vem da soma das duas partes de 5\ \text{cm}^2.
• CResulta de contar meios-quadrados da malha de forma errada, sem calcular a área de cada parte.
• DValor sem justificativa, que não vem do cálculo das áreas.
• ESuperestima a área ao somar regiões brancas ou contar a malha incorretamente.

Assunto: Áreas e perímetros de polígonos.

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