Questão 12 (Nível 1) da OBMEP 2012

Resolução comentada

Use a malha: cada quadradinho inclinado tem diagonal de 1 cm. Os vértices da figura caem em pontos de coordenadas inteiras, com a base do retângulo no eixo x (de 0 a 4) e a altura de 0 a 5.

A região cinzenta é o contorno externo menos dois vazios brancos.

1. Contorno externo: o polígono (0,0),(1,5),(2,4),(3,5),(4,0). Pela fórmula de Gauss (fórmula do laço), a área é \frac{|{-28}|}{2}=14\ \text{cm}^2.

2. Buraco central: o losango (quadrilátero) (2,4),(1,2),(2,1),(3,2) tem diagonais de 3 cm (vertical) e 2 cm (horizontal). Sua área é \frac{3\cdot 2}{2}=3\ \text{cm}^2.

3. Triângulo branco de baixo: vértices (1,0),(2,1),(3,0), com base 2 cm e altura 1 cm. Sua área é \frac{2\cdot 1}{2}=1\ \text{cm}^2.

4. Região cinzenta:

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

• BNão corresponde a nenhuma subtração correta; erra a área de um dos vazios brancos.
• CResulta de um erro de contagem de meios quadradinhos, ao estimar as áreas dos vazios.
• DEsquece de tirar o triângulo branco da base ou erra a área do losango central.
• EIgnora quase todos os vazios; fica perto da área do contorno externo (14).

Assunto: Áreas e perímetros de polígonos.

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