Questão 4 (Nível 2) da OBMEP 2012

Resolução comentada

Chame de m o número de meninas e de h o número de meninos. O enunciado diz que

Como m e h são números inteiros, a razão \frac{m}{h} é uma fração que vale 0{,}48. Para achar o menor total, usamos a fração irredutível, que tem os menores números possíveis.

1. Simplifique: \frac{48}{100}=\frac{12}{25}, dividindo numerador e denominador por 4.
2. Veja se dá para simplificar mais: 12=2^2\cdot 3 e 25=5^2 não têm fator comum, então \frac{12}{25} é irredutível.
3. Qualquer solução é da forma m=12k e h=25k, com k inteiro positivo. O menor caso é k=1: m=12 meninas e h=25 meninos.
4. Total: 12+25=37 alunos.

Conferindo: \frac{12}{25}=0{,}48. Vale.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

• A24 só seria possível com valores que não dão razão 0,48 (por exemplo, 48/100 não se reduz a esse total); não respeita a razão 12/25.
• C40 não é múltiplo de 37, e a soma dos termos deve ser múltipla de 37; não serve.
• D45 não é múltiplo de 37, então não corresponde a nenhum k inteiro.
• E48 apenas reaproveita o numerador de 0,48 e não é múltiplo de 37.

Assunto: Razão e proporção.

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