Questão 2 (Nível 2) da OBMEP 2012

Resolução comentada

Cada número escrito na horizontal tem soma dos algarismos igual a

Assim, precisamos descobrir quantas vezes Carlinhos escreveu o número 2012 na horizontal.

Observe o escalonamento da figura: cada linha começa uma posição à esquerda da anterior. Por isso, um número 2012 na vertical ocupa quatro linhas consecutivas: o 2 da primeira, o 0 da segunda, o 1 da terceira e o 2 da quarta.

As primeiras quatro linhas formam o primeiro número vertical. Cada nova linha acrescentada forma exatamente mais um, usando também as três linhas anteriores. Portanto, para formar os outros 2011 números verticais, são necessárias mais 2011 linhas.

O total de números escritos na horizontal é, então,

Como cada um contribui com 5 para a soma dos algarismos, obtemos

Os retângulos apenas destacam números já escritos; eles não acrescentam novos algarismos à soma.

Alternativa C.

Pegadinha: A alternativa B engana ao usar os 2012 retângulos como quantidade de números horizontais, esquecendo as três linhas extras.

Por que as outras alternativas estão erradas

• AEquivale à soma de apenas 2000 números horizontais, mas foram escritos 2015.
• BCalcula 2012 vezes 5, confundindo a quantidade de números verticais com a de números horizontais.
• DNão corresponde ao produto dos 2015 números horizontais pela soma 5 de seus algarismos.
• ECalcula 2012 vezes 10, usando tanto a quantidade de números quanto a soma por número incorretamente.

Assunto: Sequências e padrões.

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