Questão 20 (Nível 2) da OBMEP 2012

Question

Três casais fizeram compras em uma livraria. Vitor comprou 3 livros a mais do que Lorena e Pedro comprou 5 livros a mais do que Cláudia. Cada um dos homens comprou 4 livros a mais do que a respectiva esposa. Lorena e Cláudia compraram mais livros do que Bianca, que só comprou 3 livros. Qual das seguintes afirmações é verdadeira?

A
Vitor comprou mais livros do que Pedro.
B
Pedro é marido de Cláudia.
C
Pedro foi o marido que comprou o maior número de livros.
D
Cláudia comprou um livro a mais do que Lorena.
E
Vitor é marido de Bianca.

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 20 (Nível 2) da OBMEP 2012

Nível 2 · Matemática: Lógica e raciocínio lógico

Três casais fizeram compras em uma livraria. Vitor comprou 3 livros a mais do que Lorena e Pedro comprou 5 livros a mais do que Cláudia. Cada um dos homens comprou 4 livros a mais do que a respectiva esposa. Lorena e Cláudia compraram mais livros do que Bianca, que só comprou 3 livros. Qual das seguintes afirmações é verdadeira?

A
Vitor comprou mais livros do que Pedro.
B
Pedro é marido de Cláudia.
C
Pedro foi o marido que comprou o maior número de livros.
D
Cláudia comprou um livro a mais do que Lorena.
E
Vitor é marido de Bianca.

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Vamos representar as informações do enunciado no diagrama ao lado. Nele, a letra H indica o único homem cujo nome não aparece no enunciado. A flecha que vai de Cláudia a Pedro, indicada com +5, quer dizer que Pedro comprou 5 livros a mais que Cláudia, e analogamente para as outras flechas. As flechas que saem de Bianca para Lorena e Cláudia indicam que ambas compraram mais livros que Bianca. Mais abaixo vamos explicar as flechas que não correspondem a dados do enunciado.

[Figura: Diagrama com seis nós representando pessoas: Pedro (em vermelho), Vitor (em verde), Lorena (em vermelho), Bianca (em azul), Cláudia (em verde) e H (em azul). Há setas orientadas: de Bianca para Lorena; de Bianca para Cláudia; de Bianca para H (+4); de Cláudia para Pedro (+5); de Cláudia para Lorena (+1); de Lorena para Vitor (+3); de Lorena para Pedro (+4); de Vitor para Pedro (+1); e de H para Pedro.]

Como Pedro comprou 5 livros a mais que Cláudia e cada homem comprou 4 livros a mais que sua esposa, segue que Pedro não é o marido de Cláudia. Por outro lado, Pedro comprou 5 livros a mais que Cláudia, que comprou mais livros que Bianca; logo Pedro não é o marido de Bianca, ou seja, ele é o marido de Lorena. Indicamos essa conclusão no diagrama colocando os nomes de Pedro e Lorena em vermelho e marcando a flecha que os liga com +4.

Como Pedro comprou 5 livros a mais que Cláudia e 4 livros a mais que Lorena, segue que Lorena comprou 1 livro a mais que Cláudia, o que nos dá a flecha que liga Cláudia a Lorena. As flechas que ligam Cláudia a Vítor passando por Lorena mostram que Vítor comprou 4 livros a mais que Cláudia; como Cláudia comprou mais livros que Bianca, segue que Vítor comprou pelo menos 5 livros a mais que Bianca. Logo Vítor não é o marido de Bianca, ou seja, ele é o marido de Cláudia; indicamos essa conclusão colocando seus nomes em verde. Logo Bianca é a mulher de H; assim, ligamos esses dois por uma flecha com +4 e colocamos seus nomes em azul.

Notamos ainda que Pedro comprou pelo menos 6 livros a mais que Bianca; como H comprou 4 livros a mais que Bianca, segue que Pedro comprou mais livros que H.

Finalmente, observamos que como Pedro comprou 4 livros a mais que Lorena e Vítor comprou 3 livros a mais que Lorena, segue que Pedro comprou 1 livro a mais que Vítor, conforme indicado. Podemos agora analisar as alternativas:

A) Falsa, pois Pedro comprou 1 livro a mais que Vítor.
B) Falsa, pois Pedro é o marido de Lorena.
C) Verdadeira, pois Pedro comprou mais livros que Vítor e que H.
D) Falsa, pois Lorena comprou um livro a mais que Cláudia.
E) Falsa, pois Vitor é marido de Cláudia.

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Resolução comentada

Os três casais são formados pelas mulheres Lorena, Cláudia e Bianca. Os homens são Vitor, Pedro e um terceiro. Cada homem comprou 4 livros a mais que a esposa.

Vitor comprou 3 a mais que Lorena. Como a esposa de qualquer homem tem 4 a menos, Vitor não é marido de Lorena. Pedro comprou 5 a mais que Cláudia, então Pedro também não é marido de Cláudia.

Bianca comprou 3 livros, e Lorena e Cláudia compraram mais que ela, ou seja, pelo menos 4 cada uma.

Seja L o número de livros de Lorena e C o de Cláudia. Vitor tem L+3 e Pedro tem C+5.
O marido de Bianca tem 3+4=7 livros.
Vitor tem L+3 com L\geq 4, logo Vitor tem pelo menos 7. Se Vitor fosse marido de Bianca, teria L+3=7, ou seja, L=4. Mas então Vitor seria... compatível, e é preciso checar as outras possibilidades.
Vitor não é marido de Lorena. Se fosse marido de Cláudia, teria C+4=L+3, logo L=C+1. Pedro não é marido de Cláudia; se fosse de Lorena, teria C+5=L+4, logo L=C+1. Os dois casos dão a mesma relação. Então o terceiro homem seria marido de Bianca, com 7 livros.
Nesse caso, Vitor com Cláudia e Pedro com Lorena: L=C+1, e C\geq 4.
Se Vitor fosse marido de Bianca, Pedro teria de ser marido de Lorena (não de Cláudia), e o terceiro homem seria marido de Cláudia. Assim Vitor teria 7, L=4 e Pedro teria L+4=8, C=3, mas isso contradiz C>3. Logo esse caso é impossível.

Portanto Vitor é marido de Cláudia, Pedro é marido de Lorena, L=C+1, ou seja, Lorena comprou um livro a mais que Cláudia. Com C\geq 4: Vitor tem C+4, Pedro tem C+5, e o marido de Bianca tem 7, que é no máximo C+3. Assim Pedro é quem comprou mais livros.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

AVitor tem C+4 e Pedro tem C+5, então Pedro comprou mais.
BPedro comprou 5 a mais que Cláudia, mas o marido compra 4 a mais, então Pedro não é marido dela.
DÉ Lorena quem comprou um livro a mais que Cláudia, e não o contrário.
EVitor é marido de Cláudia; se fosse de Bianca, Cláudia teria 3 livros, o que contraria o enunciado.

Assunto: Lógica e raciocínio lógico.

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Questão 20 no caderno Nível 2 da OBMEP 2012

Fonte: OBMEP 2012 · Nível 2. Prova oficial ↗