Questão 19 (Nível 2) da OBMEP 2012

Question

No quadriculado 5 \times 5 ao lado colocam-se os números de 1 a 25, um em cada casa, de modo que a soma dos números que aparecem em cada linha, coluna e diagonal é a mesma. Sabe-se que a soma dos números que aparecem nas casas cinzentas é 104. Qual é o número que aparece na casa central?

Tabuleiro quadriculado 5 por 5. A casa central (linha 3, coluna 3) contém um ponto de interrogação. Oito casas estão pintadas de cinza nas bordas: na linha 1, as colunas 2 e 4; na linha 2, as colunas 1 e 5; na linha 4, as colunas 1 e 5; e na linha 5, as colunas 2 e 4. As demais casas são claras.

A
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B
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C
15
D
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E
17

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 19 (Nível 2) da OBMEP 2012

Nível 2 · Matemática: Lógica e raciocínio lógico

No quadriculado 5 \times 5 ao lado colocam-se os números de 1 a 25, um em cada casa, de modo que a soma dos números que aparecem em cada linha, coluna e diagonal é a mesma. Sabe-se que a soma dos números que aparecem nas casas cinzentas é 104. Qual é o número que aparece na casa central?

Tabuleiro quadriculado 5 por 5. A casa central (linha 3, coluna 3) contém um ponto de interrogação. Oito casas estão pintadas de cinza nas bordas: na linha 1, as colunas 2 e 4; na linha 2, as colunas 1 e 5; na linha 4, as colunas 1 e 5; e na linha 5, as colunas 2 e 4. As demais casas são claras.

A
13
B
14
C
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D
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E
17

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Solução oficial da OBMEP

Notamos primeiro que a soma dos números de 1 a 25 pode ser calculada de várias maneiras; por exemplo, observando que 1+25=2+24=\ldots=12+14=26, vemos que essa soma é 12\times 26+13=325. Desse modo, a soma dos números em uma linha, coluna ou diagonal é então \frac{325}{5}=65. As casas brancas do tabuleiro consistem de uma linha, de uma coluna e das duas diagonais, todas se cruzando na casa central; assim, ao somar os números dessa linha, dessa coluna e dessas diagonais o número da casa central aparecerá quatro vezes. Denotando por x o número da casa central e lembrando que a soma dos números das casas cinzentas é 104, temos então 4\times 65-3x=325-104 e segue que x=13.

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Resolução comentada

Primeiro, a soma de 1 a 25 é \frac{25\cdot 26}{2}=325. Como são 5 linhas com a mesma soma S, temos 5S=325, logo S=65.

As casas cinzentas são (linha, coluna): (1,2), (1,4), (2,1), (2,5), (4,1), (4,5), (5,2), (5,4). Vamos usar as duas diagonais e as linhas/colunas 2 e 4 para relacioná-las ao centro.

Somando as linhas 2 e 4 e as colunas 2 e 4, obtemos 4\cdot 65=260. Nessa soma entram:

as 8 casas cinzentas, uma vez cada;
as 4 casas (2,2), (2,4), (4,2), (4,4), cada uma duas vezes (estão em linha e coluna escolhidas);
as casas (2,3), (4,3), (3,2), (3,4), uma vez cada.

Agora somando as duas diagonais: 2\cdot 65=130, que contém (1,1), (1,5), (5,1), (5,5), (2,2), (2,4), (4,2), (4,4) e o centro duas vezes. Isso não elimina diretamente as incógnitas, então usamos a linha 3 e a coluna 3: soma 130, com o centro contado duas vezes e as casas (3,1), (3,5), (1,3), (5,3), (3,2), (3,4), (2,3), (4,3).

Soma total: 325 = todas as casas. Separando em grupos: cantos C, cinzentas G=104, quatro casas internas diagonais D, quatro casas internas em cruz X, quatro pontas da cruz P e o centro m.

C+G+D+X+P+m=325.
Diagonais: C+D+2m=130.
Linha 3 + coluna 3: P+X+2m=130.

Somando 2 e 3: C+D+P+X+4m=260. Subtraindo de 1: G-3m=65, ou seja, 104-3m=65, logo m=13.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

BValor sem relação com a equação 104-3m=65 obtida das somas.
CValor sem relação com a equação obtida; não satisfaz 3m=39.
DValor sem relação com a equação obtida; não satisfaz 3m=39.
EValor sem relação com a equação obtida; não satisfaz 3m=39.

Assunto: Lógica e raciocínio lógico.

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Questão 19 no caderno Nível 2 da OBMEP 2012

Fonte: OBMEP 2012 · Nível 2. Prova oficial ↗