Questão 17 (Nível 3) da OBMEP 2012

Question

Na figura, as retas r e s são paralelas e a distância entre elas é 2\ \text{cm}. A reta t forma um ângulo de 45^\circ com a reta r. Os círculos com centro em A e C tangenciam a reta t nos pontos B e D, respectivamente, e tangenciam as retas r e s. Qual é a área, em centímetros quadrados, do quadrilátero ABCD?

Figura contendo duas retas horizontais paralelas, r (superior) e s (inferior), e uma reta transversal t inclinada. Entre as retas r e s há dois círculos tangentes a ambas as retas: o da esquerda tem centro A e tangencia a reta t no ponto B; o da direita tem centro C e tangencia a reta t no ponto D. O quadrilátero ABCD está sombreado em cinza.

A
\sqrt{2}
B
2
C
1 + \sqrt{2}
D
2\sqrt{2}
E
3

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 17 (Nível 3) da OBMEP 2012

Nível 3 · Matemática: Circunferência: ângulos, cordas e tangência

Na figura, as retas r e s são paralelas e a distância entre elas é 2\ \text{cm}. A reta t forma um ângulo de 45^\circ com a reta r. Os círculos com centro em A e C tangenciam a reta t nos pontos B e D, respectivamente, e tangenciam as retas r e s. Qual é a área, em centímetros quadrados, do quadrilátero ABCD?

Figura contendo duas retas horizontais paralelas, r (superior) e s (inferior), e uma reta transversal t inclinada. Entre as retas r e s há dois círculos tangentes a ambas as retas: o da esquerda tem centro A e tangencia a reta t no ponto B; o da direita tem centro C e tangencia a reta t no ponto D. O quadrilátero ABCD está sombreado em cinza.

A
\sqrt{2}
B
2
C
1 + \sqrt{2}
D
2\sqrt{2}
E
3

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

Reportar erro na questão

Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

[Figura: Duas retas paralelas horizontais s e r tangenciam duas circunferências congruentes de centros A e C. A reta transversal t intersecta as circunferências nos pontos B e D. O segmento horizontal tracejado AC intersecta a reta t no ponto E. O quadrilátero ABCD está sombreado em cinza.]

A diagonal AC do quadrilátero ABCD é paralela à reta r, pois A e C estão à mesma distância (1\text{ cm}) de r. Como r e t fazem um ângulo de 45^\circ, segue que C\hat{E}D = 45^\circ. Como C\hat{D}E = 90^\circ, o triângulo CDE é isósceles e temos ED = DC = 1\text{ cm}. Do mesmo modo obtemos AB = BE = 1\text{ cm} e segue que ABCD é um losango de lados 1\text{ cm}. As diagonais AC e BD dividem esse losango em quatro triângulos de mesma área; como a área do triângulo AEB é \frac{AB \times BE}{2} = \frac{1}{2}, a área de ABCD é 4 \times \frac{1}{2} = 2\text{ cm}^2.

Ver como a OBMEP publicou

Publicada pela banca.

Resolução comentada

As retas r e s estão a 2\ \text{cm} de distância, e cada círculo tangencia as duas. Logo o diâmetro vale 2\ \text{cm} e o raio vale 1\ \text{cm}.

Como t é tangente aos círculos em B e D, os raios AB e CD são perpendiculares a t. Então AB \parallel CD e AB = CD = 1. Assim, ABCD é um paralelogramo, de fato um retângulo, pois AB \perp BD e CD \perp BD (veja que AB e CD são perpendiculares a BD, que está sobre t).

Para a área, basta achar BD.

Os centros A e C ficam na reta média entre r e s, a 1\ \text{cm} de cada uma.
A está a 1 de t e C também, em lados opostos de t. Logo o ponto médio M de AC está em t.
A reta AC é paralela a r e forma 45^\circ com t. No triângulo retângulo ABM, com AB=1 e ângulo de 45^\circ em M, temos AM = \dfrac{1}{\sen 45^\circ}=\sqrt{2} e BM = 1.
Por simetria, MD = 1, então BD = 2.

O quadrilátero ABCD é formado pelos triângulos ABD e CBD, cada um com base BD=2 e altura 1:

\text{Área} = 2\cdot\dfrac{2\cdot 1}{2} = 2\ \text{cm}^2

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

AUsa só AM=\sqrt{2} como se fosse a área, sem multiplicar lados.
CSoma valores (1+\sqrt{2}) sem relação com base e altura do retângulo.
DToma BD=2\sqrt{2} (confunde com AC) e multiplica por 1.
EValor sem justificativa geométrica; não decorre de BD=2 e altura 1.

Assunto: Circunferência: ângulos, cordas e tangência.

Reportar erro na resolução

Ver como caiu na prova

Questão 17 no caderno Nível 3 da OBMEP 2012

Fonte: OBMEP 2012 · Nível 3. Prova oficial ↗