Questão 11 (Nível 1) da OBMEP 2012

Question

A balança da figura está equilibrada. Os copos são idênticos e contêm, ao todo, 1400 gramas de farinha. Os copos do prato da esquerda estão completamente cheios e os copos do prato da direita estão cheios até metade de sua capacidade. Qual é o peso, em gramas, de um copo vazio?

Balança de dois pratos em equilíbrio: no prato da esquerda há dois copos cheios de farinha até a borda; no prato da direita há três copos cheios até a metade com farinha.

A
50
B
125
C
175
D
200
E
250

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 11 (Nível 1) da OBMEP 2012

Nível 1 · Matemática: Equações do 1º grau e problemas

A balança da figura está equilibrada. Os copos são idênticos e contêm, ao todo, 1400 gramas de farinha. Os copos do prato da esquerda estão completamente cheios e os copos do prato da direita estão cheios até metade de sua capacidade. Qual é o peso, em gramas, de um copo vazio?

Balança de dois pratos em equilíbrio: no prato da esquerda há dois copos cheios de farinha até a borda; no prato da direita há três copos cheios até a metade com farinha.

A
50
B
125
C
175
D
200
E
250

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

No prato da direita temos três metades de copo de farinha; no prato da esquerda temos dois copos cheios, o que é o mesmo que quatro metades de copo de farinha. Como ao todo temos 1400 gramas de farinha, o que equivale a sete metades de copos, cada metade equivale a 200 gramas de farinha. Logo, no prato da esquerda temos 800 gramas de farinha e no da direita temos 600 gramas de farinha, ou seja, há 800 - 600 = 200 gramas de farinha a mais no prato da direita. Por outro lado, há um copo a mais no prato da esquerda; como os copos são idênticos, esse copo extra equilibra a farinha extra do prato da esquerda e concluímos que um copo vazio pesa 200 gramas.

[Figura: Balança de dois pratos em equilíbrio, com dois copos cheios de farinha no prato da esquerda e três copos preenchidos até a metade no prato da direita.]

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Resolução comentada

Sejam c o peso de um copo vazio e f o peso da farinha de um copo cheio, ambos em gramas.

A figura mostra 2 copos cheios à esquerda e 3 copos pela metade à direita, ou seja, 5 copos no total.

A farinha total é a soma dos dois pratos:

Esquerda: 2f de farinha.
Direita: 3\cdot\frac{f}{2}=1{,}5f de farinha.
Total: 2f+1{,}5f=3{,}5f=1400, logo f=400\ \text{g}.

A balança está equilibrada, então os pesos dos pratos são iguais (os copos pesam c cada, e a farinha pesa f por copo cheio):

2c+2f=3c+1{,}5f

Isolando c:

c=0{,}5f=0{,}5\cdot 400=200\ \text{g}

Conferindo: esquerda =2\cdot200+800=1200; direita =3\cdot200+600=1200. Está equilibrado.

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

AValor sem relação com o equilíbrio; não satisfaz 2c+2f=3c+1{,}5f.
BNão verifica o equilíbrio: com c=125 os pratos teriam pesos diferentes.
CTambém não equilibra os pratos; não surge de nenhuma etapa correta.
ECom c=250 o prato da direita ficaria mais pesado que o da esquerda.

Assunto: Equações do 1º grau e problemas.

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Questão 11 no caderno Nível 1 da OBMEP 2012

Fonte: OBMEP 2012 · Nível 1. Prova oficial ↗