Questão 13 (Nível 1) da OBMEP 2012

Question

De quantas maneiras é possível colorir cada um dos círculos da figura com uma das cores amarelo, azul e vermelho, de modo que dois círculos ligados por um segmento tenham sempre cores diferentes?

Grafo composto por nove círculos interligados por segmentos de reta, formando uma rede de triângulos.

A
2
B
3
C
4
D
6
E
9

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 13 (Nível 1) da OBMEP 2012

Nível 1 · Matemática: Princípio fundamental da contagem

De quantas maneiras é possível colorir cada um dos círculos da figura com uma das cores amarelo, azul e vermelho, de modo que dois círculos ligados por um segmento tenham sempre cores diferentes?

Grafo composto por nove círculos interligados por segmentos de reta, formando uma rede de triângulos.

A
2
B
3
C
4
D
6
E
9

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Começamos a colorir a figura pelo círculo marcado com a letra A. Temos 3 opções de cores para A e, uma vez selecionada a cor de A, temos 2 possibilidades de cores para o círculo B. Para cada escolha de cores para A e B, a cor de C fica unicamente determinada pelas condições do problema. Logo, pelo princípio multiplicativo, temos 3 \times 2 \times 1 = 6 possibilidades diferentes de colorir os círculos A, B e C. Agora notamos que, para qualquer escolha de cores para A, B e C, as cores dos círculos restantes ficam unicamente determinadas. Portanto, temos 6 maneiras diferentes de colorir os círculos da figura de acordo com as condições do enunciado.

[Figura: Grafo formado por oito círculos interligados por segmentos de reta, compondo regiões triangulares. Três círculos na parte superior direita estão rotulados com as letras A, B e C.]

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Publicada pela banca.

Resolução comentada

Lendo a figura, os círculos formam vários triângulos. Num triângulo, os três círculos precisam de três cores diferentes. Cada novo círculo ligado a dois círculos já coloridos de cores diferentes tem a cor forçada: é a terceira cor.

Chame de U o círculo de cima à esquerda, C o central e R o da direita. Eles formam um triângulo.

Colorir U, C e R com cores todas diferentes: 3\cdot 2\cdot 1 = 6 maneiras.
O círculo do canto superior, ligado a U e R, fica com a cor de C.
O círculo da esquerda, ligado a U e C, fica com a cor de R.
O círculo inferior direito, ligado a C e R, fica com a cor de U.
O círculo do meio, ligado a C e ao inferior direito (cores de C e U), fica com a cor de R.
O círculo inferior esquerdo, ligado a C e ao do meio (cores de C e R), fica com a cor de U.
O círculo de baixo está ligado ao inferior esquerdo (cor de U), ao do meio (cor de R) e ao inferior direito (cor de U). Só sobra a cor de C, e ela é válida.

Depois da escolha inicial, tudo fica determinado e sem conflito. O total é 6 maneiras.

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

AConta só as 2 maneiras de um par de círculos, ignorando as 3! permutações do triângulo inicial.
BConsidera apenas a escolha de uma cor, esquecendo que as outras duas podem ser trocadas de lugar.
CNão corresponde a nenhuma contagem válida: o triângulo inicial já admite 6 colorações.
EMultiplica por 3 sem respeitar as cores forçadas; as colorações dos demais círculos são únicas.

Assunto: Princípio fundamental da contagem.

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Questão 13 no caderno Nível 1 da OBMEP 2012

Fonte: OBMEP 2012 · Nível 1. Prova oficial ↗