Questão 2 (Nível 3) da OBMEP 2012

Question

Renata montou uma sequência de triângulos com palitos de fósforo, seguindo o padrão indicado na figura. Um desses triângulos foi construído com 135 palitos de fósforo. Quantos palitos tem um lado desse triângulo?

Sequência de três estruturas triangulares formadas por palitos de fósforo: a primeira tem 1 triângulo de lado medindo 1 palito; a segunda tem 3 triângulos (1 no topo e 2 na base), com lado medindo 2 palitos; a terceira tem 6 triângulos dispostos em três camadas (1 no topo, 2 no meio e 3 na base), com lado medindo 3 palitos.

A
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B
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C
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D
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E
10

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 2 (Nível 3) da OBMEP 2012

Nível 3 · Matemática: Sequências e padrões

Renata montou uma sequência de triângulos com palitos de fósforo, seguindo o padrão indicado na figura. Um desses triângulos foi construído com 135 palitos de fósforo. Quantos palitos tem um lado desse triângulo?

Sequência de três estruturas triangulares formadas por palitos de fósforo: a primeira tem 1 triângulo de lado medindo 1 palito; a segunda tem 3 triângulos (1 no topo e 2 na base), com lado medindo 2 palitos; a terceira tem 6 triângulos dispostos em três camadas (1 no topo, 2 no meio e 3 na base), com lado medindo 3 palitos.

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

O primeiro triângulo da sequência é formado por três palitos. Para n \ge 2, o triângulo que ocupa a posição n na sequência é formado acrescentando n triângulos iguais ao primeiro ao triângulo precedente. Logo, o total de palitos utilizados para construir o triângulo que ocupa a posição n na sequência é 3 \cdot 1 + 3 \cdot 2 + + \dots + 3n = 3 \cdot (1 + 2 + \dots + n) = \frac{3n(n + 1)}{2}. Para saber em qual triângulo foram usados 135 palitos, devemos resolver a equação \frac{3n(n + 1)}{2} = 135, ou seja, n(n + 1) = 90. Por inspeção, vemos que a raiz positiva dessa equação é n = 9; logo o triângulo que estamos procurando é o nono triângulo da sequência, cujo lado tem 9 palitos.

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Resolução comentada

Pela figura, cada triângulo pequeno é feito com 3 palitos próprios, sem compartilhar palitos com os vizinhos. Os triângulos se encostam só pelos vértices ou pelos lados que são palitos separados. Confirmando: a 1ª figura tem 1 triângulo e 3 palitos; a 2ª tem 3 triângulos e 9 palitos; a 3ª tem 6 triângulos e 18 palitos.

Isso mostra que o número de palitos é 3 vezes o número de triângulos pequenos.

Com lado de n palitos, a figura tem 1+2+\dots+n triângulos pequenos:

\frac{n(n+1)}{2}

Logo, o total de palitos é:

3\cdot\frac{n(n+1)}{2}

Igualando a 135:

3\cdot\frac{n(n+1)}{2}=135
\frac{n(n+1)}{2}=45
n(n+1)=90
9\cdot 10=90, então n=9.

Conferindo: 45 triângulos \times 3 = 135 palitos.

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

ACom lado 6 há 21 triângulos e 63 palitos, muito abaixo de 135.
BCom lado 7 há 28 triângulos e 84 palitos.
CCom lado 8 há 36 triângulos e 108 palitos.
ECom lado 10 há 55 triângulos e 165 palitos, passando de 135.

Assunto: Sequências e padrões.

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Questão 2 no caderno Nível 3 da OBMEP 2012

Fonte: OBMEP 2012 · Nível 3. Prova oficial ↗