Questão 9 (Nível 1) da OBMEP 2011

Resolução comentada

A corda sai da mão de um homem, passa pela roldana fixa dele, desce até a roldana móvel (a do piano), dá a volta nela, sobe até a outra roldana fixa e chega à mão do outro homem. Assim, há dois trechos verticais de corda sustentando a roldana móvel: um à esquerda e outro à direita.

O piano sobe quando esses dois trechos verticais ficam mais curtos. Cada metro que o piano sobe encurta cada trecho em 1 m, ou seja, encurta 2 m de corda no total.

A corda que sai dos trechos verticais é a que os homens puxam. Então:

1. Total de corda puxada: 15 + 25 = 40\ \text{m}.
2. Essa corda se divide entre os dois trechos verticais, que encurtam o mesmo tanto.
3. Subida do piano: \dfrac{40}{2} = 20\ \text{m}.

Confirmando: se o piano sobe 20 m, o trecho da esquerda encurta 20 m e o da direita também, somando 40 m de corda puxada. Como a corda é contínua, não importa quanto cada homem puxou individualmente, só a soma.

Alternativa B.

Pegadinha: A alternativa E engana quem soma a corda puxada (40 m) e esquece que a roldana móvel tem dois trechos de corda, então o piano sobe só metade.

Por que as outras alternativas estão erradas

• AUsa só o valor puxado pelo homem que puxou menos, ignorando o outro.
• CUsa só o valor puxado pelo segundo homem, sem somar nem dividir.
• DFaz a soma menos 10 sem fundamento, ou confunde com outra combinação dos valores.
• ESoma 15 + 25 mas esquece de dividir por 2, por causa dos dois trechos verticais.

Assunto: Grandezas proporcionais e divisão proporcional.

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