Questão 6 (Nível 2) da OBMEP 2011

Resolução comentada

A corda sai da mão de um homem, passa pela roldana fixa dele, desce até a roldana móvel, contorna essa roldana e sobe até a outra roldana fixa, chegando à mão do outro homem. Assim, o piano fica preso a dois trechos de corda: um à esquerda e um à direita da roldana móvel.

O comprimento total da corda é constante. Esse comprimento é a soma de três partes: o trecho do primeiro homem até a roldana fixa, o trecho vertical que passa pela roldana móvel (descida e subida) e o trecho do segundo homem.

Se o piano sobe h, cada um dos dois trechos verticais encurta h, e o total encurtado é 2h. Esse encurtamento precisa ser igual ao tanto de corda puxado pelos homens:

1. Corda puxada pelos dois: 15 + 25 = 40\ \text{m}.
2. Os dois trechos verticais encurtam: 2h = 40.
3. Logo, h = 20\ \text{m}.

Não importa quanto cada um puxa individualmente, só a soma. Por isso o resultado não é 15, 25 nem 40.

Alternativa B.

Pegadinha: A alternativa E engana quem iguala a subida do piano à soma da corda puxada (40 m), esquecendo que a roldana móvel tem dois trechos de corda e a subida é a metade.

Por que as outras alternativas estão erradas

• AUsa apenas o que o primeiro homem puxou, ignorando o outro.
• CUsa apenas o que o segundo homem puxou, ignorando o outro.
• DValor sem base na relação 2h=40, não corresponde a nenhuma conta correta.
• ESoma 15 + 25 e esquece de dividir por 2, pois são dois trechos de corda sustentando o piano.

Assunto: Grandezas proporcionais e divisão proporcional.

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