Questão 8 (Nível 2) da OBMEP 2011

Question

Quatro times disputaram um torneio de futebol em que cada um jogou uma vez contra cada um dos outros. Se uma partida terminasse empatada, cada time ganhava um ponto; caso contrário, o vencedor ganhava três pontos e o perdedor, zero. A tabela mostra a pontuação final do torneio. Quantos foram os empates?

Time	Pontos
Cruzínthians	5
Flameiras	3
Nauritiba	3
Greminense	2

A
2
B
3
C
4
D
5
E
6

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 8 (Nível 2) da OBMEP 2011

Nível 2 · Matemática: Lógica e raciocínio lógico

Quatro times disputaram um torneio de futebol em que cada um jogou uma vez contra cada um dos outros. Se uma partida terminasse empatada, cada time ganhava um ponto; caso contrário, o vencedor ganhava três pontos e o perdedor, zero. A tabela mostra a pontuação final do torneio. Quantos foram os empates?

Time	Pontos
Cruzínthians	5
Flameiras	3
Nauritiba	3
Greminense	2

A
2
B
3
C
4
D
5
E
6

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Cada time jogou três vezes. Com 5 pontos, o Cruzínthians só pode ter vencido uma partida e empatado duas, pois se tivesse vencido duas partidas, teria pelo menos 6 pontos e se não tivesse vencido nenhuma, teria no máximo 3 pontos. O Greminense não venceu nenhuma partida, pois obteve apenas 2 pontos; logo empatou duas partidas e perdeu uma. O Flameiras, em segundo lugar com 3 pontos, não venceu nenhuma partida, pois se isso tivesse acontecido ele teria que ter perdido duas; como o Greminense não ganhou nenhuma e o Cruzínthians apenas uma, ele teria perdido para o Nauritiba. Mas o mesmo raciocínio mostra que então o Nauritiba, tendo ganho a partida com o Flameiras, deveria ter perdido para Flameiras! Como isso não pode acontecer, concluímos que o Flameiras e o Greminense empataram suas três partidas. Logo o número de empates foi 3 + 3 - 1 = 5; o -1 aparece nessa expressão pois o empate entre Flameiras e Nauritiba deve ser contado apenas uma vez.

	Cruzínthians	Flameiras	Nauritiba	Greminense
Cruzínthians		1	1	3
Flameiras	1		1	1
Nauritiba	1	1		1
Greminense	0	1	1

Outra solução é notar que em cada jogo disputado são distribuídos 2 pontos, no caso de empate ou 3 pontos, caso não ocorra empate. Como cada um dos quatro times jogou uma única vez com seus três adversários, foram disputados ao todo seis jogos, nos quais foram distribuídos 5 + 3 + 3 + 2 = 13 pontos. A única maneira de parcelar 13 em seis parcelas de 2 ou 3 é 13 = 3 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2; logo, cinco dos seis jogos terminaram empatados.

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Publicada pela banca.

Resolução comentada

Com 4 times, cada um joga contra os outros 3, então há \binom{4}{2}=6 partidas.

Cada partida distribui pontos assim: empate dá 1+1=2 pontos no total; partida com vencedor dá 3+0=3 pontos no total.

A soma dos pontos da tabela é 5+3+3+2=13.

Seja e o número de empates. Então há 6-e partidas com vencedor, e:

2e+3(6-e)=13

18-e=13 \Rightarrow e=5

Conferindo se é possível: com 5 empates e 1 vitória, o time com 5 pontos (Cruzínthians) venceu um jogo (3 pontos) e empatou dois (2 pontos). O perdedor desse jogo é o Greminense, que só empatou os outros dois jogos e fez 2 pontos. Flameiras e Nauritiba empataram os 3 jogos que fizeram, 3 pontos cada. Tudo bate com a tabela.

Portanto, houve 5 empates.

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

ACom 2 empates, haveria 4 vitórias e 16 pontos no total, não 13.
BCom 3 empates, a soma seria 6+9=15, não 13.
CCom 4 empates, a soma seria 8+6=14, não 13.
ECom 6 empates, a soma seria 12, e não 13.

Assunto: Lógica e raciocínio lógico.

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Questão 8 no caderno Nível 2 da OBMEP 2011

Fonte: OBMEP 2011 · Nível 2. Prova oficial ↗