Questão 7 (Nível 2) da OBMEP 2011

Resolução comentada

Com 1000 pessoas, os gráficos dão: 85% têm televisão, ou seja, 850 pessoas; 80% têm geladeira, ou seja, 800 pessoas.

Para achar o mínimo de pessoas com os dois aparelhos, pense no pior caso: as pessoas sem um aparelho devem ser, o máximo possível, diferentes das pessoas sem o outro.

1. Sem televisão: 15\% \cdot 1000 = 150 pessoas.
2. Sem geladeira: 20\% \cdot 1000 = 200 pessoas.
3. O maior número possível de pessoas que não têm pelo menos um dos aparelhos ocorre quando os dois grupos não se sobrepõem: 150 + 200 = 350.
4. Então, no mínimo, 1000 - 350 = 650 pessoas têm os dois.

Outra forma, pela união: n(T \cup G) = n(T) + n(G) - n(T \cap G). Como n(T \cup G) \leq 1000, temos 850 + 800 - n(T \cap G) \leq 1000, logo n(T \cap G) \geq 650.

O mínimo é atingido quando todos têm pelo menos um aparelho.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

• AValor sem base no cálculo; não corresponde à interseção mínima.
• BValor sem relação com 850+800-1000; não sai de nenhuma conta correta.
• DSubtrai só 300 (ou usa 15%+... errado); o correto é descontar 150+200=350.
• EToma a porcentagem da geladeira (800), que seria o máximo se todos com geladeira tivessem TV, não o mínimo.

Assunto: Conjuntos e conjuntos numéricos.

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