Quatro times disputaram um torneio de futebol em que cada um jogou uma vez contra cada um dos outros. Se uma partida terminasse empatada, cada time ganhava um ponto; caso contrário, o vencedor ganhava três pontos e o perdedor, zero. A tabela mostra a pontuação final do torneio. Quantos foram os empates?
Time
Pontos
Cruzínthians
5
Flameiras
3
Nauritiba
3
Greminense
2
A
2
B
3
C
4
D
5
E
6
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Com 4 times e cada par jogando uma vez, há \binom{4}{2}=6 partidas.
Cada partida distribui pontos assim: empate rende 1+1=2 pontos no total; partida com vencedor rende 3+0=3 pontos.
Seja e o número de empates. Então 6-e partidas tiveram vencedor, e o total de pontos é:
2e+3(6-e)=18-e
Somando a tabela: 5+3+3+2=13 pontos.
Igualamos: 18-e=13
Logo e=5.
Conferindo se é possível: com 5 empates e 1 vitória, o time vencedor tem 3+ (empates dos outros 2 jogos) =3+2=5 pontos, se os dois outros jogos dele forem empates: é o Cruzínthians. O perdedor tem 0+2=2 pontos: Greminense. Os outros dois times empataram tudo: 3 pontos cada, o que bate com a tabela.
Alternativa D.
Por que as outras alternativas estão erradas
ADaria 16 pontos no total, não os 13 da tabela.
BDaria 15 pontos no total, não 13.
CDaria 14 pontos no total, não 13.
ECom 6 empates o total seria 12 pontos, e não haveria vitórias para produzir o 5.
