Questão 14 (Nível 1) da OBMEP 2011

Question

Quatro times disputaram um torneio de futebol em que cada um jogou uma vez contra cada um dos outros. Se uma partida terminasse empatada, cada time ganhava um ponto; caso contrário, o vencedor ganhava três pontos e o perdedor, zero. A tabela mostra a pontuação final do torneio. Quantos foram os empates?

Time	Pontos
Cruzínthians	5
Flameiras	3
Nauritiba	3
Greminense	2

A
2
B
3
C
4
D
5
E
6

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 14 (Nível 1) da OBMEP 2011

Nível 1 · Matemática: Lógica e raciocínio lógico

Quatro times disputaram um torneio de futebol em que cada um jogou uma vez contra cada um dos outros. Se uma partida terminasse empatada, cada time ganhava um ponto; caso contrário, o vencedor ganhava três pontos e o perdedor, zero. A tabela mostra a pontuação final do torneio. Quantos foram os empates?

Time	Pontos
Cruzínthians	5
Flameiras	3
Nauritiba	3
Greminense	2

A
2
B
3
C
4
D
5
E
6

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Cada time jogou três vezes. Com 5 pontos, o Cruzínthians só pode ter vencido uma partida e empatado duas, pois se tivesse vencido duas partidas, teria pelo menos 6 pontos e se não tivesse vencido nenhuma, teria no máximo 3 pontos. O Greminense não venceu nenhuma partida, pois obteve apenas 2 pontos; logo empatou duas partidas e perdeu uma. O Flameiras, em segundo lugar com 3 pontos, não venceu nenhuma partida, pois se isso tivesse acontecido ele teria que ter perdido duas; como o Greminense não ganhou nenhuma e o Cruzínthians apenas uma, ele teria perdido para o Nauritiba. Mas o mesmo raciocínio mostra que então o Nauritiba, tendo ganho a partida com o Flameiras, deveria ter perdido para Flameiras! Como isso não pode acontecer, concluímos que o Flameiras e o Greminense empataram suas três partidas. Logo o número de empates foi 3 + 3 - 1 = 5; o -1 aparece nessa expressão pois o empate entre Flameiras e Nauritiba deve ser contado apenas uma vez.

	Cruzínthians	Flameiras	Nauritiba	Greminense
Cruzínthians		1	1	3
Flameiras	1		1	1
Nauritiba	1	1		1
Greminense	0	1	1

Outra solução é notar que em cada jogo disputado são distribuídos 2 pontos, no caso de empate ou 3 pontos, caso não ocorra empate. Como cada um dos quatro times jogou uma única vez com seus três adversários, foram disputados ao todo seis jogos, nos quais foram distribuídos 5 + 3 + 3 + 2 = 13 pontos. A única maneira de parcelar 13 em seis parcelas de 2 ou 3 é 13 = 3 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2; logo, cinco dos seis jogos terminaram empatados.

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Resolução comentada

Com 4 times, cada um enfrentando os outros três uma vez, há \frac{4\cdot 3}{2}=6 partidas.

Cada partida distribui pontos de dois jeitos:

empate: 1+1=2 pontos no total;
vitória: 3+0=3 pontos no total.

Seja e o número de empates. Então há 6-e partidas com vencedor.

Total de pontos da tabela: 5+3+3+2=13.
Total pelas partidas: 2e+3(6-e)=18-e.
Igualando: 18-e=13, logo e=5.

Conferindo se é possível: com 5 empates e 1 vitória, o time que venceu tem pelo menos 3 pontos de vitória mais empates. O Cruzínthians (5 pontos) venceu uma vez (3 pontos) e empatou duas (2 pontos). Os outros três times têm 1 vitória a menos, então Flameiras e Nauritiba têm 3 pontos (3 empates cada seria 3, ok se empataram com todos), e o Greminense, que perdeu, tem 2 pontos (2 empates). Os pontos fecham: Cruzínthians venceu o Greminense e empatou com os outros dois; Greminense empatou com Flameiras e Nauritiba; Flameiras e Nauritiba empataram entre si. Assim, Flameiras e Nauritiba têm 3 empates cada, 3 pontos, e o total de empates é 5.

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

ANúmero de empates muito baixo; daria um total de pontos de 16, não 13.
BCom 3 empates o total seria 15 pontos, diferente dos 13 da tabela.
CCom 4 empates o total seria 14 pontos, não 13.
ECom 6 empates todas as partidas empatariam e o total seria 12 pontos.

Assunto: Lógica e raciocínio lógico.

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Questão 14 no caderno Nível 1 da OBMEP 2011

Fonte: OBMEP 2011 · Nível 1. Prova oficial ↗