Questão 6 (Nível 3) da OBMEP 2011

Question

Márcia cortou quatro tiras retangulares de mesma largura, cada uma de um dos lados de uma folha de papel medindo 30\ \text{cm} por 40\ \text{cm}. O pedaço de papel que sobrou tem 68\% da área da folha original. Qual é a largura das tiras?

Ilustração de uma garota recortando tiras de papel com tesoura sobre uma mesa

A
1\ \text{cm}
B
2\ \text{cm}
C
3\ \text{cm}
D
4\ \text{cm}
E
5\ \text{cm}

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 6 (Nível 3) da OBMEP 2011

Nível 3 · Matemática: Porcentagem

Márcia cortou quatro tiras retangulares de mesma largura, cada uma de um dos lados de uma folha de papel medindo 30\ \text{cm} por 40\ \text{cm}. O pedaço de papel que sobrou tem 68\% da área da folha original. Qual é a largura das tiras?

Ilustração de uma garota recortando tiras de papel com tesoura sobre uma mesa

A
1\ \text{cm}
B
2\ \text{cm}
C
3\ \text{cm}
D
4\ \text{cm}
E
5\ \text{cm}

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Seja x a largura, em centímetros, das faixas cortadas por Márcia. As dimensões do pedaço retangular que sobra após o corte das tiras são 30-2x e 40-2x; sua área é então

(30-2x) \times (40-2x) = 1200-140x+4x^2.

[Figura: Diagrama com indicação "(a figura não está em escala)" representando um retângulo maior de dimensões 40 por 30. Ao redor de todas as quatro bordas são retiradas faixas de largura x, restando uma região central retangular sombreada de altura 40-2x e largura 30-2x.]

Como a área desse pedaço corresponde a 68\% da área da folha original, temos

1200-140x+4x^2 = 0{,}68 \times 1200 = 816

ou seja

x^2 - 35x + 96 = 0

Essa equação tem as soluções x = 32 e x = 3; como 2 \times 32 = 64 supera os lados da folha original, a solução x = 32 deve ser descartada. Logo a largura das tiras é 3\text{ cm}.

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Resolução comentada

A folha original tem área 30\times 40 = 1200\ \text{cm}^2. O que sobrou é 68\% disso:

0{,}68\times 1200 = 816\ \text{cm}^2

Se cada tira tem largura x e foi cortada de cada um dos quatro lados, o retângulo que sobra perde x de cada lado em cada direção. Então as dimensões novas são 30-2x e 40-2x.

Monte a equação: (30-2x)(40-2x)=816.
Desenvolva: 1200 - 60x - 80x + 4x^2 = 816, ou seja, 4x^2 - 140x + 384 = 0.
Divida por 4: x^2 - 35x + 96 = 0.
Procure dois números com soma 35 e produto 96: são 3 e 32. Logo x=3 ou x=32.

A largura 32\ \text{cm} é impossível, pois a folha tem só 30\ \text{cm} de largura. Portanto x=3\ \text{cm}.

Conferindo: (30-6)(40-6)=24\times 34=816. Correto.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

ACom 1 cm sobra 28\times 38=1064\ \text{cm}^2, bem mais que 816.
BCom 2 cm sobra 26\times 36=936\ \text{cm}^2, ainda mais que 816.
DCom 4 cm sobra 22\times 32=704\ \text{cm}^2, menos que 816.
ECom 5 cm sobra 20\times 30=600\ \text{cm}^2, muito menos que 816.

Assuntos: Porcentagem, Áreas e perímetros de polígonos.

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Questão 6 no caderno Nível 3 da OBMEP 2011

Fonte: OBMEP 2011 · Nível 3. Prova oficial ↗