Questão 5 (Nível 3) da OBMEP 2011

Question

Pedro tem dois cubos com faces numeradas, com os quais ele consegue indicar os dias do mês de 01 a 31. Para formar as datas, os cubos são colocados lado a lado e podem ser girados ou trocados de posição. A face com o 6 também é usada para mostrar o 9. Na figura ao lado, os cubos mostram o dia 03. Qual é a soma dos números das quatro faces não visíveis no cubo da esquerda?

Dois cubos colocados lado a lado: o da esquerda mostra a face frontal com o número 0 e a superior com o número 2; o da direita mostra a face frontal com o número 3, a superior com o número 6 e a lateral direita com o número 5.

A
15
B
16
C
18
D
19
E
20

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 5 (Nível 3) da OBMEP 2011

Nível 3 · Matemática: Lógica e raciocínio lógico

Pedro tem dois cubos com faces numeradas, com os quais ele consegue indicar os dias do mês de 01 a 31. Para formar as datas, os cubos são colocados lado a lado e podem ser girados ou trocados de posição. A face com o 6 também é usada para mostrar o 9. Na figura ao lado, os cubos mostram o dia 03. Qual é a soma dos números das quatro faces não visíveis no cubo da esquerda?

Dois cubos colocados lado a lado: o da esquerda mostra a face frontal com o número 0 e a superior com o número 2; o da direita mostra a face frontal com o número 3, a superior com o número 6 e a lateral direita com o número 5.

A
15
B
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C
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D
19
E
20

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Solução oficial da OBMEP

O número 0 deve aparecer nos dois dados, para que seja possível formar as datas de 01 a 09, 10, 20 e 30. Os números 1 e 2 também devem aparecer nos dois dados, para formar as datas 11 e 22. Desse modo no dado da direita aparecem os números 0, 1, 2, 3, 5, 6 (que também é 9) e no dado da esquerda aparecem os números 0, 1, 2, 4, 7 e 8. A soma das faces não visíveis do dado da esquerda é então 1 + 4 + 7 + 8 = 20.

Outra solução é a seguinte. Como acima, os números 0, 1 e 2 devem aparecer nos dois dados; os números 4, 7 e 8 também devem aparecer. Assim, a soma dos números nos dois dados deve ser 2 \times (0 + 1 + 2) + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 39. Os números que aparecem no dado da direita são 0, 1, 2 (ocultos) e 3, 5, 6 (visíveis); os números 0 e 2 estão visíveis no cubo da esquerda. Logo a soma dos números não visíveis no cubo da esquerda é 39 - (0 + 2 + 0 + 1 + 2 + 3 + 5 + 6) = 39 - 19 = 20.

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Resolução comentada

Para formar de 01 a 31, os dois cubos juntos têm 12 faces. Os dígitos 0, 1 e 2 precisam aparecer nos dois cubos. Isso porque 11 e 22 exigem dois 1 e dois 2, e 01 a 09 exigem o 0 junto com cada dígito de 1 a 9. Se os dois cubos têm 0, 1 e 2, ficam 6 faces comuns e sobram 6 faces para os dígitos 3, 4, 5, 6 (que vale como 9), 7 e 8.

Quanto ao 0: precisamos de 01, 02, ..., 09. Se os dois cubos têm 0, cada um tem 0, 1, 2 e sobram 3 faces em cada cubo, num total de 6 faces para 3, 4, 5, 6/9, 7, 8. São exatamente 6 dígitos, e cada um aparece uma única vez.

O cubo da direita tem 3, 6 e 5 visíveis, além de 0, 1 e 2. Então o cubo da direita é {0,1,2,3,5,6} e o da esquerda é {0,1,2,4,7,8}.

O cubo da esquerda mostra 0 e 2. As quatro faces não visíveis são 1, 4, 7 e 8.

Soma:

1+4+7+8=20

Conferindo: o cubo da direita só tem 3, 5, 6 e os dois cubos têm 0, 1, 2; assim formam-se 03, 05, 06/09, 04, 07, 08, 11, 22 e 10 a 31 sem problema.

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

ASoma valores que não correspondem às faces ocultas (1, 4, 7 e 8).
BErra a composição do cubo, trocando uma das faces ocultas.
CUsa um conjunto de faces incorreto para o cubo da esquerda.
DTroca uma face oculta por outra, esquecendo que o 6 também serve de 9.

Assunto: Lógica e raciocínio lógico.

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Questão 5 no caderno Nível 3 da OBMEP 2011

Fonte: OBMEP 2011 · Nível 3. Prova oficial ↗