Questão 7 (Nível 3) da OBMEP 2011

Question

Na figura, os dois semicírculos são tangentes e o lado do quadrado mede 36\text{ cm}. Qual é o raio do semicírculo menor?

Quadrado contendo dois semicírculos tangentes entre si, um com diâmetro sobre o lado vertical esquerdo tangenciando o topo, e outro maior com diâmetro sobre o lado horizontal inferior

A
8\text{ cm}
B
9\text{ cm}
C
10\text{ cm}
D
11\text{ cm}
E
12\text{ cm}

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 7 (Nível 3) da OBMEP 2011

Nível 3 · Matemática: Circunferência: ângulos, cordas e tangência

Na figura, os dois semicírculos são tangentes e o lado do quadrado mede 36\text{ cm}. Qual é o raio do semicírculo menor?

Quadrado contendo dois semicírculos tangentes entre si, um com diâmetro sobre o lado vertical esquerdo tangenciando o topo, e outro maior com diâmetro sobre o lado horizontal inferior

A
8\text{ cm}
B
9\text{ cm}
C
10\text{ cm}
D
11\text{ cm}
E
12\text{ cm}

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Solução oficial da OBMEP

Sejam R e r os raios dos semicírculos maior e menor, respectivamente; o lado do quadrado tem então medida 2R = 36, ou seja, R = 18. Como os centros dos semicírculos e o ponto de tangência estão alinhados, o triângulo destacado na figura é um triângulo retângulo de catetos R e 2R - r e hipotenusa R + r. O teorema de Pitágoras nos dá (R + r)^2 = R^2 + (2R - r)^2. Simplificando, obtemos 6Rr = 4R^2 e segue que r = \frac{2}{3}R = \frac{2}{3} \times 18 = 12\text{ cm}.

[Figura: Quadrado contendo dois semicírculos tangentes entre si, um maior com diâmetro na base inferior e raio indicado por R, e outro menor com diâmetro no lado esquerdo e raio indicado por r. Há uma região triangular sombreada formada pelos centros dos semicírculos e o vértice inferior esquerdo do quadrado.]

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Resolução comentada

Pela figura, o semicírculo menor tem o diâmetro sobre o lado esquerdo do quadrado e toca o lado de cima no vértice superior esquerdo. Já o maior tem o diâmetro sobre o lado de baixo e toca o lado esquerdo.

Monte coordenadas com a origem no canto inferior esquerdo e o quadrado de lado 36.

O maior parece tangente ao lado direito e ao lado esquerdo? Na figura, ele aparece cortado pelas laterais, então seu diâmetro é o lado de baixo e o raio é 18, com centro em (18,0).

O menor tem raio r e diâmetro sobre o lado esquerdo, começando no topo. Seu diâmetro vai de y=36 até y=36-2r, e o centro fica em (0,\,36-r).

Tangência externa: a distância entre os centros é a soma dos raios.

Distância: d^2 = 18^2 + (36-r)^2.
Soma dos raios: (18+r)^2.
Igualando: 324 + 1296 - 72r + r^2 = 324 + 36r + r^2.
Simplificando: 1296 = 108r.
Logo r = 12.

Conferência: centros (18,0) e (0,24), distância \sqrt{324+576}=30 = 18+12. ✓

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

AValor sem base na relação de tangência; não satisfaz a equação 1296=108r.
BCorresponde a um quarto do lado, sem fundamento na condição de tangência.
CValor aproximado que não satisfaz a distância entre centros igual a 18+r.
DResultado de erro de conta ao igualar as distâncias; não verifica a tangência.

Assuntos: Circunferência: ângulos, cordas e tangência, Teorema de Pitágoras e relações métricas.

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Questão 7 no caderno Nível 3 da OBMEP 2011

Fonte: OBMEP 2011 · Nível 3. Prova oficial ↗