Questão 20 (Nível 1) da OBMEP 2011

Resolução comentada

Cada cubo tem 6 faces, ou seja, 12 faces no total. Precisamos formar todos os dias de 01 a 31.

Os dias 11 e 22 exigem que cada cubo tenha 1 e 2. Os dias 01 a 09 exigem o 0 em um cubo e o outro dígito no outro. Como 0, 1 e 2 precisam estar nos dois cubos (para 11, 22 e 00 não é necessário, mas 01 a 09 e 10, 20, 30 exigem o 0), vale o raciocínio usual:

1. Os dígitos 1 e 2 aparecem nos dois cubos (dias 11 e 22): ocupam 4 faces.
2. O 0 precisa estar em algum cubo para 01 a 09. Como 1 e 2 já estão nos dois cubos, o 0 fica em um cubo só, mas o outro cubo deve ter todos os dígitos de 1 a 9. Assim, o cubo com o 0 tem 0, 1, 2 e mais 3 dígitos, e o outro tem 1, 2 e mais 4 dígitos.
3. Os dígitos 3, 4, 5, 6 (=9), 7, 8 somam 6 dígitos (o 6 vale também como 9), distribuídos nas 3 + 4... faces restantes: 12 − 4 − 1 = 7 faces. Sobra uma face: o 0 ocupa uma, e os dígitos 3, 4, 5, 6, 7, 8 ocupam 6, totalizando 4 + 1 + 6 = 11. A face restante é o 0 repetido, em cada cubo.

Assim, os cubos têm 0, 1, 2 em ambos, e os dígitos 3, 4, 5, 6, 7, 8 divididos entre eles, três em cada.

O cubo da direita mostra 3, 6 e 5. Logo, o da esquerda tem 4, 7 e 8, além de 0, 1 e 2.

No cubo da esquerda, visíveis: 0 e 2. Não visíveis: 1, 4, 7, 8.

Soma: 1+4+7+8=20.

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

• ASoma incorreta; não corresponde às faces 1, 4, 7 e 8 do cubo da esquerda.
• BSoma incorreta; não corresponde às faces 1, 4, 7 e 8 do cubo da esquerda.
• CSoma incorreta; provavelmente troca alguma face, como usar o 6 no lugar de outra.
• DSoma incorreta; não corresponde às faces não visíveis corretas.

Assunto: Lógica e raciocínio lógico.

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