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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 12 (Nível 2) da OBMEP 2011

Nível 2 · Matemática: Lógica e raciocínio lógico

Pedro tem dois cubos com faces numeradas, com os quais ele consegue indicar os dias do mês de 01 a 31. Para formar as datas, os cubos são colocados lado a lado e podem ser girados ou trocados de posição. A face com o 6 também é usada para mostrar o 9. Na figura ao lado, os cubos mostram o dia 03. Qual é a soma dos números das quatro faces não visíveis no cubo da esquerda?

Dois cubos colocados lado a lado: o cubo da esquerda exibe o número 0 na face frontal e o número 2 na face superior; o cubo da direita exibe o número 3 na face frontal, o número 6 na face superior e o número 5 na face lateral direita. Juntos na face frontal, formam o dia 03.

  1. A
    15
  2. B
    16
  3. C
    18
  4. D
    19
  5. E
    20
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Cada cubo tem 6 faces, então os dois cubos têm 12 faces para distribuir os algarismos. O 6 também serve de 9, então ele ocupa uma só face.

Primeiro, quais algarismos são necessários:

  1. Para 11 e 22, cada cubo precisa ter 1 e 2. Os dois cubos têm 1 e 2.
  2. Para 01 a 09, 10 e 20, o 0 é necessário. Como 00 não existe, mas 01, 02, ..., 09 exigem um 0 em um cubo e o outro algarismo no outro cubo, o 0 pode ficar em um só cubo se o outro tiver 1 a 9. Porém 10 e 20 também usam o 0, com o 1 e o 2 no outro cubo. Se o 0 estivesse só em um cubo, esse cubo teria que ter 1, 2 e 0 e o outro 1, 2 e os demais.
  3. Contando: 1 e 2 ocupam 4 faces (duas em cada cubo). Sobram 8 faces para 0, 3, 4, 5, 6 (ou 9), 7 e 8, que são 7 algarismos. Logo, um dos algarismos precisa ficar nos dois cubos, e esse é o 0 (para formar 01 a 09, o 0 precisa estar em um cubo e o outro, com o dígito, no outro; isso força o 0 nos dois cubos para 01..09 sem sobrecarregar).

Assim: os dois cubos têm 0, 1, 2 (6 faces), sobram 6 faces para 3, 4, 5, 6, 7, 8, divididas 3 e 3.

Na figura, o cubo da esquerda mostra 0 e 2, e o da direita mostra 3, 6 e 5. Então o da direita tem 0, 1, 2, 3, 5, 6, mas isso já daria 3, 5, 6 do lado direito e o 0, 1, 2 também, totalizando 6 faces. Perfeito.

O cubo da esquerda tem 0, 1, 2 e os outros três algarismos que sobram: 4, 7, 8.

Faces não visíveis do cubo da esquerda: 1, 4, 7, 8 (as visíveis são 0 e 2).

Soma: 1+4+7+8=20.

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ASoma menor que a real; esquece algum dos algarismos 4, 7 ou 8 ou erra a distribuição.
  • BNão bate com as faces 1, 4, 7 e 8; erro na distribuição dos algarismos.
  • CNão corresponde às faces ocultas 1, 4, 7 e 8.
  • DTroca algum dos algarismos ocultos, por exemplo usando 3 ou 5 no cubo da esquerda.

Assunto: Lógica e raciocínio lógico.

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Ver como caiu na prova Questão 12 no caderno Nível 2 da OBMEP 2011

Fonte: OBMEP 2011 · Nível 2. Prova oficial ↗