Questão 16 (Nível 3) da OBMEP 2011

Question

A figura mostra um retângulo de área 42\ \text{cm}^2 com os pontos médios dos lados em destaque. Qual é a área, em \text{cm}^2, da região cinza?

A
8
B
10
C
12
D
14
E
16

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 16 (Nível 3) da OBMEP 2011

Nível 3 · Matemática: Áreas e perímetros de polígonos

A figura mostra um retângulo de área 42\ \text{cm}^2 com os pontos médios dos lados em destaque. Qual é a área, em \text{cm}^2, da região cinza?

A
8
B
10
C
12
D
14
E
16

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Solução oficial da OBMEP

Considere a decomposição do retângulo indicada na figura, e seja a a área do retângulo. As áreas B_1 e B_2 são iguais, pois correspondem a áreas de triângulos com mesma medida de base e altura; o mesmo ocorre com B_3 e B_4. O triângulo retângulo formado por B_1, B_2 e B_3 tem como catetos um lado do retângulo e metade do outro lado; sua área é então \frac{a}{4} e temos B_1 + B_2 + B_3 = \frac{a}{4}; o mesmo ocorre com B_2 + B_3 + B_4. Logo B_1 + B_2 + B_3 = B_2 + B_3 + B_4, o que implica em B_1 = B_4.

[Figura: Decomposição do retângulo indicando as regiões B₁, B₂, B₃, B₄ no canto superior esquerdo, C₁, C₂, C₃, C₄ no canto inferior direito e a região cinza A ao centro.]

Logo B_1 = B_2 = B_3 = B_4 e segue que B_1 + B_1 + B_1 = 3B_1 = \frac{a}{4}, donde B_1 = \frac{a}{12}.

Por simetria, todas essas conclusões se aplicam a C_1, C_2, C_3 e C_4. Logo A = a - 8 \times \frac{a}{12} = \frac{a}{3} = \frac{42}{3} = 14\text{ cm}^2.

Nas figuras ao lado, apresentamos outra solução
Na primeira, observamos que o quadrilátero em vermelho, é um paralelogramo, pois seus lados horizontais são paralelos e congruentes.

[Figura: Retângulo com quadrilátero em vermelho formando um paralelogramo em torno da região cinza.]

O teorema de Tales mostra que os lados não horizontais desse paralelogramo dividem a diagonal destacada na segunda figura em três segmentos congruentes, conforme a segunda figura.

[Figura: Diagonal do retângulo destacada em vermelho, dividida em três partes iguais pelas retas paralelas do paralelogramo.]

Finalmente, os três triângulos destacados na terceira figura e cujas bases são esses segmentos de mesma medida, têm o terceiro vértice em comum; desse modo tem todos a mesma área, que é \frac{1}{3} de metade da área do retângulo, ou seja, 7\text{ cm}^2. Logo a área da região cinza é 14\text{ cm}^2.

[Figura: Metade do retângulo dividida na diagonal em três triângulos congruentes em área.]

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Publicada pela banca.

Resolução comentada

Coloque o retângulo com vértices (0,0), (a,0), (a,b), (0,b), de modo que ab=42.

Pontos médios: superior (a/2,\,b), inferior (a/2,\,0), esquerdo (0,\,b/2), direito (a,\,b/2).

Os quatro segmentos são:

De (0,0) a (a/2,b), com inclinação 2b/a.
De (a/2,0) a (a,b), com inclinação 2b/a, paralelo ao primeiro.
De (0,b/2) a (a,b), com inclinação b/(2a).
De (0,0) a (a,b/2), com inclinação b/(2a), paralelo ao terceiro.

Os vértices do paralelogramo cinza são (0,0), (a,b) e as interseções 1∩3 e 2∩4.

Interseção 1∩3: y=\frac{2b}{a}x e y=\frac{b}{2}+\frac{b}{2a}x. Igualando: \frac{2x}{a}=\frac12+\frac{x}{2a}, então \frac{3x}{2a}=\frac12 e x=\frac a3, y=\frac{2b}{3}.

Por simetria (rotação de 180° em torno do centro), a outra interseção é (2a/3,\,b/3).

Área pelo produto vetorial das diagonais-lados: os lados a partir de (0,0) são (a/3,\,2b/3) e (2a/3,\,b/3). Então

\text{Área}=\left|\frac a3\cdot\frac b3-\frac{2b}{3}\cdot\frac{2a}{3}\right|=\frac{ab}{9}\,|1-4|=\frac{ab}{3}.

Com ab=42: \frac{42}{3}=14\ \text{cm}^2.

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

AValor sem relação com a razão correta ab/3; resulta de erro nas coordenadas das interseções.
BNão corresponde a 42/3; provável aproximação sem cálculo das interseções.
CUsaria 42/3{,}5, fração que não aparece no cálculo; confunde a razão da área.
EValor sem justificativa; não resulta da fração 1/3 da área do retângulo.

Assuntos: Áreas e perímetros de polígonos, Semelhança e Teorema de Tales.

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Questão 16 no caderno Nível 3 da OBMEP 2011

Fonte: OBMEP 2011 · Nível 3. Prova oficial ↗