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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 15 (Nível 3) da OBMEP 2011

Nível 3 · Matemática: Divisibilidade, MMC e MDC

Uma caixa contém 105 bolas pretas, 89 bolas cinzentas e 5 bolas brancas. Fora da caixa há bolas brancas em quantidade suficiente para efetuar repetidamente o seguinte procedimento, até que sobrem duas bolas na caixa:

  • retiram-se, sem olhar, duas bolas da caixa;
  • se as bolas retiradas forem de cores diferentes, a de cor mais escura é devolvida para a caixa;
  • caso contrário, descartam-se as bolas retiradas e coloca-se na caixa uma bola branca.

Sobre as cores das duas bolas que sobram, pode-se garantir que

Desenho ilustrativo de uma menina segurando duas bolas cinzentas ao lado de uma caixa cheia de bolas pretas, cinzentas e brancas, com outras bolas brancas espalhadas pela mesa

  1. A
    as duas serão brancas.
  2. B
    as duas serão cinzentas.
  3. C
    as duas serão pretas.
  4. D
    exatamente uma será preta.
  5. E
    exatamente uma será cinzenta.
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada

Procure uma quantidade que não muda (invariante) a cada rodada. Cores da mais escura para a mais clara: preta, cinzenta, branca.

Inicialmente: 105 pretas (ímpar), 89 cinzentas (ímpar), 5 brancas (ímpar).

Analise o que acontece com a paridade de cada cor em cada tipo de retirada:

  1. Duas da mesma cor: saem duas dessa cor e entra uma branca.
  • Duas pretas: pretas -2 (paridade igual), brancas +1 (paridade troca).
  • Duas cinzentas: cinzentas -2 (paridade igual), brancas +1 (troca).
  • Duas brancas: brancas -2+1=-1 (troca).
  1. Cores diferentes: a mais escura volta, então sai a mais clara.
  • Preta e cinzenta: sai 1 cinzenta, e a paridade das cinzentas troca.
  • Preta e branca: sai 1 branca, e a paridade das brancas troca.
  • Cinzenta e branca: sai 1 branca, e a paridade das brancas troca.

Observe a paridade das pretas: ela só muda se uma preta deixar a caixa, e isso só acontece ao tirar duas pretas (-2), o que não altera a paridade. Logo, o número de bolas pretas é sempre ímpar.

Como o número de pretas é sempre ímpar, nunca chega a zero. Sobram duas bolas, então há pelo menos uma preta. A outra pode ser preta? Duas pretas seria um número par, o que é impossível. Portanto, sobra exatamente uma preta.

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AAs pretas têm quantidade sempre ímpar e nunca desaparecem, então não podem sobrar só brancas.
  • BSempre resta ao menos uma preta, então as duas não podem ser cinzentas.
  • CDuas pretas seria quantidade par, e o número de pretas é sempre ímpar.
  • ENão há garantia sobre as cinzentas; a paridade delas muda, e a outra bola pode ser branca ou cinzenta.

Assuntos: Divisibilidade, MMC e MDC, Lógica e raciocínio lógico.

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Ver como caiu na prova Questão 15 no caderno Nível 3 da OBMEP 2011

Fonte: OBMEP 2011 · Nível 3. Prova oficial ↗