Questão 17 (Nível 3) da OBMEP 2011

Resolução comentada

Chame de v a velocidade do terceiro carro. Ele sai 30 min (0{,}5 h) depois dos outros dois, e a ideia é descobrir o instante em que alcança cada um (distâncias iguais).

1. Posição dos carros t horas após a saída dos dois primeiros: 50t e 40t. O terceiro está em v(t-0{,}5).

2. Ele alcança o segundo carro quando v(t_2-0{,}5)=40t_2, ou seja, t_2=\dfrac{0{,}5v}{v-40}.

3. Ele alcança o primeiro quando v(t_1-0{,}5)=50t_1, ou seja, t_1=\dfrac{0{,}5v}{v-50}.

4. A diferença entre os dois encontros é de 1,5 h:
   

   t_1-t_2=\frac{0{,}5v}{v-50}-\frac{0{,}5v}{v-40}=1{,}5

5. Colocando 0{,}5v em evidência:
   

   0{,}5v\cdot\frac{(v-40)-(v-50)}{(v-50)(v-40)}=1{,}5 \Rightarrow \frac{5v}{(v-50)(v-40)}=1{,}5

6. Então 5v=1{,}5(v^2-90v+2000), o que dá 3v^2-280v+6000=0.

7. Discriminante: 280^2-4\cdot3\cdot6000=78400-72000=6400, cuja raiz é 80. Logo v=\dfrac{280\pm80}{6}, ou seja, v=60 ou v=\dfrac{100}{3}.

8. Como o terceiro precisa ser mais rápido que 50 km/h para alcançar o primeiro, v=60\ \text{km/h}.

Verificação: t_2=30/20=1{,}5 h e t_1=30/10=3 h, diferença de 1,5 h. ✓

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

• A30 km/h é menor que a velocidade dos outros carros, então ele nunca os alcançaria.
• B45 km/h não passa os 50 km/h do primeiro carro, logo não o alcança.
• DCom 70 km/h os encontros ocorrem em 1,17 h e 1,75 h, diferença de cerca de 0,58 h, e não 1,5 h.
• ECom 75 km/h a diferença entre os encontros é bem menor que 1,5 h.

Assuntos: Razões especiais: velocidade, densidade e vazão, Equações do 1º grau e problemas.

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