Questão 14 (Nível 3) da OBMEP 2011

Resolução comentada

Seja L o comprimento da pista. A ideia é que, com velocidades constantes, a razão entre as distâncias percorridas no mesmo tempo é sempre a razão entre as velocidades.

Quando Alberto chega, Bernardo percorreu L-36 e Carlos percorreu L-46. Então:

Quando Bernardo chega, ele percorreu L e Carlos percorreu L-16. Então:

Como a razão entre as velocidades de Carlos e Bernardo é a mesma nas duas situações, igualamos:

1. \dfrac{L-46}{L-36}=\dfrac{L-16}{L}
2. Multiplicando em cruz: L(L-46)=(L-16)(L-36)
3. Desenvolvendo: L^2-46L=L^2-52L+576
4. Os termos L^2 se cancelam: -46L=-52L+576
5. Logo 6L=576, ou seja, L=96.

Verificação: Bernardo percorre 60 m enquanto Carlos percorre 50 m, razão \frac{5}{6}. Quando Bernardo faz 96 m, Carlos faz 96\cdot\frac56=80 m, ou seja, está 16 m atrás. Confere.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

• BValor sem base na equação; não satisfaz a razão entre as velocidades de Bernardo e Carlos.
• CNão satisfaz a igualdade das razões; é resultado de erro na montagem da proporção.
• DValor sem relação com a equação 6L=576; não verifica as distâncias do enunciado.
• ETambém não resolve a equação; com L=144 a razão de velocidades não coincide nas duas situações.

Assunto: Razões especiais: velocidade, densidade e vazão.

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