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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 19 (Nível 2) da OBMEP 2011

Nível 2 · Matemática: Lógica e raciocínio lógico

Uma caixa contém 105 bolas pretas, 89 bolas cinzentas e 5 bolas brancas. Fora da caixa há bolas brancas em quantidade suficiente para efetuar repetidamente o seguinte procedimento, até que sobrem duas bolas na caixa:

  • retiram-se, sem olhar, duas bolas da caixa;
  • se as bolas retiradas forem de cores diferentes, a de cor mais escura é devolvida para a caixa;
  • caso contrário, descartam-se as bolas retiradas e coloca-se na caixa uma bola branca.

Sobre as cores das duas bolas que sobram, pode-se garantir que

Ilustração de uma menina ao lado de uma caixa com bolas pretas, cinzentas e brancas, segurando duas bolas com uma das mãos.

  1. A
    as duas serão brancas.
  2. B
    as duas serão cinzentas.
  3. C
    as duas serão pretas.
  4. D
    exatamente uma será preta.
  5. E
    exatamente uma será cinzenta.
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada

Para achar o que não muda, vamos acompanhar a paridade (par ou ímpar) da quantidade de cada cor. Começamos com 105 pretas (ímpar), 89 cinzentas (ímpar) e 5 brancas (ímpar).

Há seis tipos de retirada:

  1. Duas pretas: saem 2 pretas e entra 1 branca. Pretas: paridade igual; brancas: muda.
  2. Duas cinzentas: saem 2 cinzentas e entra 1 branca. Cinzentas: paridade igual; brancas: muda.
  3. Duas brancas: saem 2 brancas e entra 1 branca. Brancas: perde 1, muda.
  4. Preta e cinzenta: devolve-se a preta, a cinzenta sai. Cinzentas: perde 1, muda; pretas e brancas: iguais.
  5. Preta e branca: devolve-se a preta, a branca sai. Brancas: muda.
  6. Cinzenta e branca: devolve-se a cinzenta, a branca sai. Brancas: muda.

Observe o que acontece com as pretas e as cinzentas juntas: nenhuma retirada muda a paridade das pretas, pois a quantidade de pretas só diminui de 2 em 2. Logo, o número de pretas continua ímpar até o fim.

Assim, ao sobrarem 2 bolas, o número de pretas é ímpar. Só pode ser 1, pois há apenas 2 bolas. Então exatamente uma é preta.

A outra bola não é garantida: pode ser cinzenta ou branca, então as alternativas A, B, C e E não valem.

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ASeria zero pretas, mas a quantidade de pretas permanece ímpar, então sempre sobra ao menos uma.
  • BTambém exigiria zero pretas, o que contradiz a paridade ímpar das pretas.
  • CDuas pretas é número par, impossível já que a paridade das pretas não muda.
  • EA cor da outra bola não é garantida; a invariante só vale para as pretas.

Assunto: Lógica e raciocínio lógico.

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Esta questão também caiu em

Ver como caiu na prova Questão 19 no caderno Nível 2 da OBMEP 2011

Fonte: OBMEP 2011 · Nível 2. Prova oficial ↗