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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 13 (Nível 2) da OBMEP 2011

Nível 2 · Matemática: Permutações

Podemos montar paisagens colocando lado a lado, em qualquer ordem, os cinco quadros da figura. Trocando a ordem dos quadros uma vez por dia, por quanto tempo, aproximadamente, é possível evitar que uma mesma paisagem se repita?

Cinco quadros verticais colocados lado a lado formando uma paisagem contínua com céu azul, gramado verde e um rio azul que atravessa horizontalmente a parte inferior. O primeiro quadro contém árvores e pássaros; o segundo, uma árvore, uma nuvem e uma casa; o terceiro, uma colina suave com grama e uma nuvem; o quarto, uma colina mais alta com uma árvore no topo, o sol e uma curva no rio; o quinto, uma colina com duas pequenas árvores e um pequeno avião no céu.

  1. A
    uma semana
  2. B
    um mês
  3. C
    dois meses
  4. D
    quatro meses
  5. E
    seis meses
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Resolução comentada

Resolução comentada

Cada paisagem corresponde a uma ordem diferente dos cinco quadros, que são todos distintos. Então o número de paisagens é o número de permutações de 5 elementos.

Para a primeira posição há 5 quadros possíveis, para a segunda sobram 4, depois 3, 2 e 1:

5! = 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1 = 120

Como a ordem é trocada uma vez por dia, é possível ficar 120 dias sem repetir a paisagem.

Para converter em meses, dividimos por 30:

\frac{120}{30} = 4

São aproximadamente quatro meses.

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AUma semana são 7 dias, muito menos que as 120 paisagens possíveis.
  • BUm mês são 30 dias; corresponderia a apenas 30 arranjos, não aos 120 existentes.
  • CDois meses são 60 dias, metade de 5!; talvez tenha dividido 120 por 2.
  • ESeis meses são cerca de 180 dias, mais que 5!=120.

Assunto: Permutações.

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Ver como caiu na prova Questão 13 no caderno Nível 2 da OBMEP 2011

Fonte: OBMEP 2011 · Nível 2. Prova oficial ↗