Questão 10 (Nível 2) da OBMEP 2011

Question

Um triângulo equilátero e um hexágono regular têm o mesmo perímetro. A área do hexágono é 6\text{ m}^2. Qual é a área do triângulo?

Um triângulo equilátero e um hexágono regular, ambos preenchidos em cinza.

A
2\text{ m}^2
B
3\text{ m}^2
C
4\text{ m}^2
D
5\text{ m}^2
E
6\text{ m}^2

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 10 (Nível 2) da OBMEP 2011

Nível 2 · Matemática: Áreas e perímetros de polígonos

Um triângulo equilátero e um hexágono regular têm o mesmo perímetro. A área do hexágono é 6\text{ m}^2. Qual é a área do triângulo?

Um triângulo equilátero e um hexágono regular, ambos preenchidos em cinza.

A
2\text{ m}^2
B
3\text{ m}^2
C
4\text{ m}^2
D
5\text{ m}^2
E
6\text{ m}^2

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Solução oficial da OBMEP

Sejam a e b os lados do triângulo e do hexágono, respectivamente. Na figura ao lado vemos o triângulo decomposto em quatro triângulos equiláteros congruentes, formados pelos segmentos que ligam os pontos médios de seus lados; o lado de cada um desses triângulos menores é \frac{a}{2}. Vemos também o hexágono decomposto em seis triângulos equiláteros congruentes, cada um de lado b. Como o perímetro do hexágono e do triângulo são os mesmos, temos 3a = 6b. Logo b = \frac{a}{2} e todos os triângulos menores na figura são congruentes. Por outro lado, como a área do hexágono é 6\text{ m}^2, cada triângulo menor tem área 1. Logo a área do triângulo é 4\text{ m}^2.

[Figura: À esquerda, um triângulo equilátero com o lado esquerdo indicado por a, dividido em quatro triângulos equiláteros menores congruentes a partir dos pontos médios de seus lados; à direita, um hexágono regular com o lado superior indicado por b, dividido em seis triângulos equiláteros congruentes a partir do centro.]

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Resolução comentada

Um hexágono regular de lado a se divide em 6 triângulos equiláteros de lado a. Se a área do hexágono é 6\ \text{m}^2, cada um desses triângulos pequenos tem área 6 \div 6 = 1\ \text{m}^2.

Agora compare os perímetros:

Perímetro do hexágono: 6a.
Perímetro do triângulo equilátero: 3b, onde b é o lado dele.
Perímetros iguais: 3b = 6a, então b = 2a.

O triângulo grande tem lado o dobro do lado do triângulo pequeno. Quando as medidas lineares dobram, a área fica multiplicada por 2^2 = 4.

Logo, a área do triângulo é:

4 \times 1 = 4\ \text{m}^2

Outra forma de ver: o triângulo de lado 2a pode ser dividido em 4 triângulos equiláteros de lado a, cada um com 1\ \text{m}^2.

Alternativa C.

Pegadinha: A alternativa B engana quem pensa que a área é proporcional ao perímetro; na verdade a razão entre os lados é 2 e a razão entre as áreas é 4.

Por que as outras alternativas estão erradas

AParece dividir a área do hexágono por 3, como se a área fosse proporcional ao perímetro.
BUsa a metade da área do hexágono, ignorando que a área cresce com o quadrado do lado.
DNão corresponde a nenhum raciocínio válido; a área do triângulo é 4 vezes a do triângulo pequeno.
ESupõe que perímetros iguais implicam áreas iguais, o que é falso.

Assuntos: Áreas e perímetros de polígonos, Semelhança e Teorema de Tales.

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Questão 10 no caderno Nível 2 da OBMEP 2011

Fonte: OBMEP 2011 · Nível 2. Prova oficial ↗