Questão 7 (Nível 1) da OBMEP 2010

Question

Um cartão da OBMEP, medindo 11 cm por 18 cm, foi cortado para formar um novo cartão, como na figura. Qual é a área da parte com as letras O e B?

Cartão retangular de 11 cm por 18 cm cortado verticalmente na divisão entre 'OB' (área sombreada) e 'MEP' (área branca); uma seta aponta para o novo cartão formado pela parte 'OB' sobreposta em pé acima da parte 'MEP'.

A
77\ \text{cm}^2
B
88\ \text{cm}^2
C
99\ \text{cm}^2
D
125\ \text{cm}^2
E
198\ \text{cm}^2

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 7 (Nível 1) da OBMEP 2010

Nível 1 · Matemática: Áreas e perímetros de polígonos

Um cartão da OBMEP, medindo 11 cm por 18 cm, foi cortado para formar um novo cartão, como na figura. Qual é a área da parte com as letras O e B?

Cartão retangular de 11 cm por 18 cm cortado verticalmente na divisão entre 'OB' (área sombreada) e 'MEP' (área branca); uma seta aponta para o novo cartão formado pela parte 'OB' sobreposta em pé acima da parte 'MEP'.

A
77\ \text{cm}^2
B
88\ \text{cm}^2
C
99\ \text{cm}^2
D
125\ \text{cm}^2
E
198\ \text{cm}^2

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

[Figura: Esquema à esquerda mostrando um retângulo de altura 11\text{ cm} e largura total 18\text{ cm}, dividido em uma região sombreada à esquerda com "OB" de largura 7\text{ cm} e uma região à direita com "MEP" de largura 11\text{ cm}. À direita do texto, a Figura 1 mostra o cartão original de 11\text{ cm} \times 18\text{ cm} com uma linha preta grossa vertical indicando o corte entre as partes "OB" e "MEP"; uma seta para a direita indica a Figura 2, que mostra o cartão reagrupado com a parte "OB" virada e posicionada sobre a parte "MEP", unidas pela linha grossa do corte horizontalmente.]

Ao lado marcamos com linha mais forte o corte, tanto no cartão original quanto no cartão formado após o corte. Na figura 1, vemos que o corte mede 11\text{ cm}, pois a parte com OB é um retângulo e os lados opostos de um retângulo são iguais. Na figura 2 vemos que o lado superior da parte com MEP também mede 11\text{ cm}. Desse modo o lado menor da parte com OB mede 18 - 11 = 7\text{ cm} e sua área é 7 \times 11 = 77\text{ cm}^2.

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Resolução comentada

O cartão tem 18 cm de comprimento e 11 cm de altura. Ele é cortado em duas peças: a parte OB, com largura w e altura 11 cm, e a parte MEP, com largura 18-w e altura 11 cm.

No novo cartão, a peça OB é girada e fica em pé, encaixada em cima da peça MEP. Para as duas peças formarem um retângulo sem sobras, a largura delas tem de ser a mesma.

Depois de girada, a largura da peça OB é o que era a sua altura, ou seja, 11 cm. A largura da peça MEP continua sendo 18-w. Então:

18 - w = 11
w = 7\ \text{cm}

A parte OB mede 7\ \text{cm} por 11\ \text{cm}, portanto sua área é:

7 \times 11 = 77\ \text{cm}^2

Alternativa A.

Pegadinha: A alternativa E dá a área do cartão inteiro, e a C parece natural se o aluno supõe o corte no meio, em vez de usar a condição de que as larguras das duas peças coincidem.

Por que as outras alternativas estão erradas

BEquivale a 8\times 11, que supõe largura 8 cm para a parte OB, valor que não satisfaz 18-w=11.
CEquivale a 9\times 11, que supõe o corte na metade do cartão, o que não faz as larguras coincidirem.
DValor sem relação com as medidas do problema; não decorre de nenhuma largura possível.
EÉ a área do cartão inteiro (18\times 11), não só da parte OB.

Assunto: Áreas e perímetros de polígonos.

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OBMEP 2010 · Questão 4 (Nível 2)Um cartão da OBMEP, medindo 11 cm por 18 cm, foi cortado para formar um novo cartão, como na figura. Qual é a área da parte com as letras O e B ?

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Questão 7 no caderno Nível 1 da OBMEP 2010

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