Questão 19 (Nível 3) da OBMEP 2010

Question

Duas folhas de papel, uma retangular e outra quadrada, foram cortadas em quadradinhos de 1\ \text{cm} de lado. Nos dois casos obteve-se o mesmo número de quadradinhos. O lado da folha quadrada media 5\ \text{cm} a menos que um dos lados da folha retangular. Qual era o perímetro da folha retangular?

A
48\ \text{cm}
B
68\ \text{cm}
C
72\ \text{cm}
D
82\ \text{cm}
E
100\ \text{cm}

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 19 (Nível 3) da OBMEP 2010

Nível 3 · Matemática: Áreas e perímetros de polígonos

Duas folhas de papel, uma retangular e outra quadrada, foram cortadas em quadradinhos de 1\ \text{cm} de lado. Nos dois casos obteve-se o mesmo número de quadradinhos. O lado da folha quadrada media 5\ \text{cm} a menos que um dos lados da folha retangular. Qual era o perímetro da folha retangular?

A
48\ \text{cm}
B
68\ \text{cm}
C
72\ \text{cm}
D
82\ \text{cm}
E
100\ \text{cm}

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

Reportar erro na questão

Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Sejam m e n as medidas dos lados do retângulo e l o lado do quadrado (em centímetros); supomos que l = m - 5. Da igualdade das áreas segue a expressão (m - 5)^2 = mn, donde tiramos

n = \frac{(m - 5)^2}{m} = \frac{m^2 - 10m + 25}{m} = m - 10 + \frac{25}{m}.

Como m e n são números inteiros, é necessário que \frac{25}{m} também seja inteiro; isso só acontece quando m é um divisor de 25, ou seja, quando m é igual a 1, 5 ou 25. Os casos m = 1 e m = 5 não podem acontecer pois l = m - 5 é positivo. Logo m = 25, donde l = 20 e a área do quadrado é l^2 = 20^2 = 400. Como essa é também a área do retângulo temos mn = 25n = 400 e segue que n = 16. Logo o perímetro do retângulo é 2m + 2n = 2 \times 25 + 2 \times 16 = 82\text{ cm}.

Ver como a OBMEP publicou

Publicada pela banca.

Resolução comentada

Seja x o lado da folha quadrada, em cm. Um lado da folha retangular mede x+5 e o outro mede b. Como o número de quadradinhos é o mesmo nas duas folhas, as áreas são iguais:

x^2=(x+5)\,b \quad\Rightarrow\quad b=\frac{x^2}{x+5}.

Como os quadradinhos têm 1\ \text{cm} de lado, os lados são números inteiros. Então x+5 precisa dividir x^2.

Escrevemos x^2=(x+5)(x-5)+25.
Como (x+5)(x-5) é divisível por x+5, o número x+5 tem de dividir 25.
Os divisores de 25 são 1, 5 e 25. Com x>0, temos x+5>5, então só serve x+5=25, ou seja, x=20.
Então b=\dfrac{20^2}{25}=\dfrac{400}{25}=16.

A folha retangular mede 25\ \text{cm}\times 16\ \text{cm}. A conferência das áreas confirma: 25\cdot16=400=20^2.

Perímetro: 2(25+16)=82\ \text{cm}.

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

ADaria perímetro 48, o que corresponderia a lados que não têm área igual à de um quadrado com 5 cm a menos em um dos lados.
BValor sem relação com a condição de áreas iguais; não vem de lados inteiros que satisfaçam x^2=(x+5)b.
CNão corresponde a nenhum retângulo de lados inteiros com área igual à do quadrado de lado 5 cm menor.
EPerímetro 100 não resulta do único par de lados 25 e 16 encontrado.

Assuntos: Áreas e perímetros de polígonos, Divisibilidade, MMC e MDC.

Reportar erro na resolução

Ver como caiu na prova

Questão 19 no caderno Nível 3 da OBMEP 2010

Fonte: OBMEP 2010 · Nível 3. Prova oficial ↗