Questão 20 (Nível 3) da OBMEP 2010

Question

Na figura, ABCD e AEFG são retângulos e o ponto F pertence à diagonal AC. A área do triângulo cinza é igual a \frac{1}{18} da área do retângulo AEFG. Qual é o valor de \frac{AF}{AC}?

Retângulo ABCD com a diagonal AC e a diagonal BD traçadas. O retângulo menor AEFG tem vértices E no lado AB, G no lado AD e F sobre a diagonal AC. Um triângulo cinza é delimitado pelo vértice F, a interseção do segmento EF com a diagonal BD, e a interseção do segmento GF com a diagonal BD.

A
\frac{3}{5}
B
\frac{3}{8}
C
\frac{8}{13}
D
\frac{11}{18}
E
\frac{3}{4}

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 20 (Nível 3) da OBMEP 2010

Nível 3 · Matemática: Semelhança e Teorema de Tales

Na figura, ABCD e AEFG são retângulos e o ponto F pertence à diagonal AC. A área do triângulo cinza é igual a \frac{1}{18} da área do retângulo AEFG. Qual é o valor de \frac{AF}{AC}?

Retângulo ABCD com a diagonal AC e a diagonal BD traçadas. O retângulo menor AEFG tem vértices E no lado AB, G no lado AD e F sobre a diagonal AC. Um triângulo cinza é delimitado pelo vértice F, a interseção do segmento EF com a diagonal BD, e a interseção do segmento GF com a diagonal BD.

A
\frac{3}{5}
B
\frac{3}{8}
C
\frac{8}{13}
D
\frac{11}{18}
E
\frac{3}{4}

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Solução oficial da OBMEP

[Figura: Retângulo ABCD com ponto E no lado AB e ponto G no lado AD, formando o retângulo interno AEFG. A diagonal BD intercepta o segmento horizontal EF no ponto R e o segmento vertical GF no ponto S, delimitando o triângulo RFS sombreado. Estão representadas também a diagonal AC, que contém F, e o segmento EG.]

Como a área do triângulo RFS é igual a \frac{1}{18} da área do retângulo AEFG, ela é igual a \frac{1}{9} da área do triângulo EFG. Como esses triângulos são semelhantes e a razão entre suas áreas é o quadrado de sua razão de semelhança, segue que essa última razão é \sqrt{\frac{1}{9}} = \frac{1}{3}. Logo FR = \frac{1}{3}EF e então ER = EF - \frac{1}{3}EF = \frac{2}{3}EF. Como os triângulos FRS e EBR são semelhantes, isso nos mostra que sua razão de semelhança é

\frac{FR}{RE} = \frac{\frac{1}{3}EF}{\frac{2}{3}EF} = \frac{1}{2}.

Temos então AE = GF = 3FS e EB = 2FS, donde AB = AE + EB = 3FS + 2FS = 5FS e \frac{AE}{AB} = \frac{3FS}{5FS} = \frac{3}{5}. Pelo teorema de Tales temos \frac{AF}{AC} = \frac{AE}{AB} e obtemos \frac{AF}{AC} = \frac{3}{5}.

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Resolução comentada

Coloque A na origem, com AD=a na horizontal e AB=b na vertical. Então D=(a,0), B=(0,b) e C=(a,b).

Seja t=\frac{AF}{AC}. Como F está em AC, temos F=(ta,\,tb). O retângulo AEFG tem lados ta e tb, e sua área é t^2ab.

A diagonal BD tem equação \frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1. Os vértices do triângulo cinza são:

F=(ta,tb).
O ponto de BD na reta EF (onde y=tb): x=a(1-t).
O ponto de BD na reta GF (onde x=ta): y=b(1-t).

O triângulo é retângulo em F, com catetos:

ta-a(1-t)=a(2t-1)\quad\text{e}\quad tb-b(1-t)=b(2t-1).

Sua área é \frac{ab(2t-1)^2}{2}.

A condição do enunciado é:

\frac{ab(2t-1)^2/2}{t^2ab}=\frac{1}{18}\ \Rightarrow\ 9(2t-1)^2=t^2\ \Rightarrow\ 3(2t-1)=\pm t.

Com o sinal +: 6t-3=t, logo t=\frac35.
Com o sinal -: 6t-3=-t, logo t=\frac37.

Na figura, F está além da interseção das diagonais, ou seja, t>\frac12. Isso exclui \frac37.

Portanto \frac{AF}{AC}=\frac35.

Alternativa A.

Pegadinha: A equação tem a raiz \frac37, que fica fora da figura porque F precisaria estar antes do centro do retângulo; é preciso escolher t>\frac12.

Por que as outras alternativas estão erradas

BNão resulta da equação 9(2t-1)^2=t^2; é um valor sem relação com a condição de área.
CNão satisfaz a razão de áreas 1/18; não vem de nenhuma raiz da equação.
DNão satisfaz a razão de áreas 1/18; é um valor sem base na equação.
EDaria razão \frac{(1/2)^2}{2\cdot 9/16}=\frac29, e não \frac1{18}.

Assuntos: Semelhança e Teorema de Tales, Áreas e perímetros de polígonos.

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Questão 20 no caderno Nível 3 da OBMEP 2010

Fonte: OBMEP 2010 · Nível 3. Prova oficial ↗