Questão 18 (Nível 3) da OBMEP 2010

Question

A figura mostra três circunferências de raios 1, 2 e 3, tangentes duas a duas nos pontos destacados. Qual é o comprimento do segmento AB?

Três circunferências mutuamente tangentes externamente, de raios 3 (à esquerda), 2 (à direita) e 1 (acima). Os pontos de contato estão marcados com pequenos círculos cinzas; o ponto $A$ é o ponto de tangência entre a circunferência maior e a menor, e o ponto $B$ é o ponto de tangência entre a circunferência menor e a média. Um segmento de reta cinza liga os pontos $A$ e $B$.

A
1
B
\sqrt{2}
C
\frac{1+\sqrt{5}}{2}
D
\frac{3}{2}
E
\sqrt{3}

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 18 (Nível 3) da OBMEP 2010

Nível 3 · Matemática: Circunferência: ângulos, cordas e tangência

A figura mostra três circunferências de raios 1, 2 e 3, tangentes duas a duas nos pontos destacados. Qual é o comprimento do segmento AB?

Três circunferências mutuamente tangentes externamente, de raios 3 (à esquerda), 2 (à direita) e 1 (acima). Os pontos de contato estão marcados com pequenos círculos cinzas; o ponto $A$ é o ponto de tangência entre a circunferência maior e a menor, e o ponto $B$ é o ponto de tangência entre a circunferência menor e a média. Um segmento de reta cinza liga os pontos $A$ e $B$.

A
1
B
\sqrt{2}
C
\frac{1+\sqrt{5}}{2}
D
\frac{3}{2}
E
\sqrt{3}

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Lembramos primeiro que se duas circunferências são tangentes então a reta que passa por seus centros passa também pelo ponto de tangência. No nosso caso, chamando de P, Q e R os centros das circunferências (como na figura), isso mostra que PR = 3, PQ = 4 e QR = 5. Como 3^2 + 4^2 = 5^2, segue que o triângulo PQR é retângulo em P. E como temos PA = PB = 1, vemos que AB é a diagonal de um quadrado de lado 1, ou seja, AB = \sqrt{2}.

[Figura: Três circunferências tangentes duas a duas externamente com centros P (na circunferência menor, superior), Q (na maior, à esquerda) e R (na média, à direita). Os segmentos ligando os centros formam o triângulo PQR, com indicação de ângulo reto no vértice P. Os pontos de tangência da circunferência menor com as outras duas são denotados por A e B, unidos por um segmento de reta AB.]

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Resolução comentada

Chame de O_1, O_2, O_3 os centros das circunferências de raios 1, 2 e 3. Como são tangentes externamente duas a duas, a distância entre centros é a soma dos raios:

O_1O_2 = 1+2 = 3
O_1O_3 = 1+3 = 4
O_2O_3 = 2+3 = 5

Como 3^2+4^2=5^2, o triângulo O_1O_2O_3 é retângulo em O_1.

O ponto A fica sobre O_1O_3 (tangência entre as de raios 1 e 3) e o ponto B fica sobre O_1O_2 (tangência entre as de raios 1 e 2). Como A e B estão a distância 1 de O_1 (o raio da menor), temos O_1A = O_1B = 1.

No ângulo reto em O_1, o triângulo O_1AB é retângulo isósceles com catetos 1. Pelo teorema de Pitágoras:

AB^2 = 1^2+1^2 = 2 \Rightarrow AB=\sqrt{2}

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

AConfunde AB com o raio 1, ignorando que AB é a hipotenusa do triângulo retângulo de catetos 1.
CRazão áurea não aparece na figura; não decorre de nenhuma relação do triângulo 3-4-5.
DValor sem justificativa geométrica; não sai de Pitágoras com catetos 1 e 1.
ESeria a hipotenusa se os catetos fossem 1 e \sqrt{2}, ou um triângulo equilátero-altura; não é o caso.

Assuntos: Circunferência: ângulos, cordas e tangência, Teorema de Pitágoras e relações métricas.

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Questão 18 no caderno Nível 3 da OBMEP 2010

Fonte: OBMEP 2010 · Nível 3. Prova oficial ↗