Questão 17 (Nível 2) da OBMEP 2010

Question

Os oito pontos destacados na figura dividem os lados do quadrado em três partes iguais. Quantos triângulos retângulos podem ser traçados com os três vértices nesses pontos?

Quadrado com oito pontos destacados sobre seus lados, dois em cada lado, dividindo cada lado em três partes iguais

A
8
B
12
C
16
D
24
E
32

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 17 (Nível 2) da OBMEP 2010

Nível 2 · Matemática: Triângulos: congruência e pontos notáveis

Os oito pontos destacados na figura dividem os lados do quadrado em três partes iguais. Quantos triângulos retângulos podem ser traçados com os três vértices nesses pontos?

Quadrado com oito pontos destacados sobre seus lados, dois em cada lado, dividindo cada lado em três partes iguais

A
8
B
12
C
16
D
24
E
32

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Vamos escolher um ponto entre os pontos destacados; por exemplo, o primeiro ponto à esquerda no lado inferior do quadrado. A figura mostra os três triângulos retângulos que podemos construir com o vértice com o ângulo reto nesse ponto. Como o mesmo acontece com os outros pontos destacados, vemos que o número de triângulos retângulos com vértices nesses pontos é 8 \times 3 = 24.

[Figura: Três ilustrações denominadas Figura 1, Figura 2 e Figura 3, mostrando um quadrado com dois pontos marcados em cada lado. Cada figura destaca um triângulo cinza diferente com ângulo reto no primeiro ponto da base, a partir da esquerda: na Figura 1, um cateto sobe verticalmente; na Figura 2, a hipotenusa liga dois pontos em lados opostos; na Figura 3, uma malha pontilhada mostra que os dois catetos do triângulo cinza coincidem com as diagonais de quadrados menores.]

Devemos justificar a afirmativa de que esses triângulos são retângulos. Isso é claro para o triângulo da figura 1. Quanto ao da figura 2, notamos que os dois triângulos retângulos brancos são congruentes, logo seus ângulos com vértice no ponto escolhido somam 90^\circ e, consequentemente, o ângulo do triângulo cinza nesse vértice é também 90^\circ. Finalmente, o triângulo da figura 3 é retângulo pois seus lados menores são diagonais de quadrados, como indicado pelos segmentos mais claros; assim eles fazem ângulo de 45^\circ com o lado inferior do quadrado e o ângulo do triângulo cinza nesse vértice é também 90^\circ.

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Resolução comentada

Coloque o quadrado com lado 3 e vértices em (0,0) e (3,3). Os oito pontos são (1,0),(2,0),(1,3),(2,3),(0,1),(0,2),(3,1),(3,2).

Um triângulo retângulo tem exatamente um ângulo reto. Então basta contar, para cada ponto P, os pares de outros pontos A e B com PA\perp PB, e somar. Dois vetores são perpendiculares quando o produto escalar é zero.

Tome P=(1,0). Os vetores até os outros sete pontos são: (1,0), (0,3), (1,3), (-1,1), (-1,2), (2,1) e (2,2).

Os pares com produto escalar zero são:

(1,0)\cdot(0,3)=0
(-1,1)\cdot(2,2)=-2+2=0
(-1,2)\cdot(2,1)=-2+2=0

Testando os demais pares, nenhum dá zero. O vetor (1,3), por exemplo, não é perpendicular a nenhum outro. Logo, cada ponto é vértice do ângulo reto de 3 triângulos.

Pela simetria do quadrado (rotações e reflexões), os 8 pontos são equivalentes e todos têm o mesmo resultado. Como cada triângulo tem um só ângulo reto, não há contagem repetida:

8\times 3=24

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

AConta só os triângulos de uma família, por exemplo os de catetos paralelos aos lados, e esquece os de catetos inclinados.
BConta apenas uma parte dos ângulos retos, sem somar os 3 de cada ponto.
CConsidera só 2 triângulos retângulos por ponto, esquecendo um dos três pares perpendiculares.
EPassa de 24 por contar triângulos além dos que existem, supondo mais pares perpendiculares por ponto.

Assuntos: Triângulos: congruência e pontos notáveis, Princípio fundamental da contagem.

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Questão 17 no caderno Nível 2 da OBMEP 2010

Fonte: OBMEP 2010 · Nível 2. Prova oficial ↗