Questão 16 (Nível 2) da OBMEP 2010

Question

Saci, Jeca, Tatu e Pacu comeram 52 bananas. Ninguém ficou sem comer e Saci comeu mais que cada um dos outros. Jeca e Tatu comeram ao todo 33 bananas, sendo que Jeca comeu mais que Tatu. Quantas bananas Tatu comeu?

Ilustração cartunesca em preto e branco mostrando quatro garotos sorrindo enquanto seguram e comem bananas.

A
16
B
17
C
18
D
19
E
20

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 16 (Nível 2) da OBMEP 2010

Nível 2 · Matemática: Lógica e raciocínio lógico

Saci, Jeca, Tatu e Pacu comeram 52 bananas. Ninguém ficou sem comer e Saci comeu mais que cada um dos outros. Jeca e Tatu comeram ao todo 33 bananas, sendo que Jeca comeu mais que Tatu. Quantas bananas Tatu comeu?

Ilustração cartunesca em preto e branco mostrando quatro garotos sorrindo enquanto seguram e comem bananas.

A
16
B
17
C
18
D
19
E
20

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Solução oficial da OBMEP

1^a solução: Como Jeca e Tatu comeram juntos 33 bananas, concluímos que Saci e Pacu comeram juntos 52 - 33 = 19 bananas. Como Saci foi quem mais comeu e Pacu comeu pelo menos 1 banana, Saci comeu no máximo 19 - 1 = 18 bananas. Portanto, Jeca comeu no máximo 17 bananas e, como Jeca comeu mais que Tatu, concluímos que Tatu comeu no máximo 16 bananas. Como 33 = 17 + 16 , não é possível que Jeca tenha comido menos que 17 ou Tatu menos que 16 bananas. Vemos assim que Jeca comeu 17 bananas e Tatu comeu 16 bananas; além disso, Saci comeu 18 bananas e sobrou apenas 1 banana para o Pacu.

2^a solução: Vamos denotar por s, j, t e p o número de bananas comidas por Saci, Jeca, Tatu e Pacu, respectivamente. Os dados do problema podem ser escritos como

s + j + t + p = 52 (juntos eles comeram 52 bananas)
s, j, t, p \ge 1 (ninguém ficou sem comer)
s > j, t, p (Saci comeu mais que todos os outros)
j + t = 33 (Jeca e Tatu comeram, juntos, 33 bananas)
j > t (Jeca comeu mais que Tatu)

De (1) e (4) segue que s + p = 52 - (j + t) = 52 - 33 = 19. Como p \ge 1 temos s \le 18 e de (3) segue que j < 18. Por outro lado, de (4) e (5) segue que 2j = j + j > j + t = 33; logo j > \dfrac{33}{2} = 16{,}5 e segue que j \ge 17. Temos então 17 \le j < 18; logo j = 17 e t = 16 , ou seja, Tatu comeu 16 bananas.

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Resolução comentada

Se Jeca e Tatu comeram 33 juntos, Saci e Pacu comeram juntos 52 - 33 = 19 bananas.

Saci comeu mais que cada um dos outros, inclusive mais que Jeca. Como Jeca comeu mais que Tatu e a soma deles é 33, Jeca comeu pelo menos 17 (pois 16 + 17 = 33 e Jeca é o maior dos dois). Logo, Saci comeu pelo menos 18.

Agora, Pacu comeu pelo menos 1 banana (ninguém ficou sem comer). Então:

Saci = 19 - \text{Pacu} \le 19 - 1 = 18.
Saci \ge 18 (pois é maior que Jeca, que tem pelo menos 17).
Portanto, Saci comeu exatamente 18 e Pacu comeu 1.

Como Saci comeu mais que Jeca, Jeca comeu menos que 18, ou seja, no máximo 17. Mas Jeca comeu pelo menos 17. Então Jeca comeu 17.

Assim, Tatu comeu 33 - 17 = 16 bananas.

Conferindo: 18 + 17 + 16 + 1 = 52, Saci (18) é maior que todos e Jeca (17) é maior que Tatu (16).

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

B17 é o número de bananas de Jeca, não de Tatu.
C18 é o que Saci comeu; Tatu não pode comer tanto, pois Jeca comeu mais que ele e a soma é 33.
DCom Tatu = 19, Jeca seria 14, contrariando que Jeca comeu mais que Tatu.
ECom Tatu = 20, Jeca seria 13, contrariando que Jeca comeu mais que Tatu.

Assuntos: Lógica e raciocínio lógico, Inequações e desigualdades.

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Questão 16 no caderno Nível 2 da OBMEP 2010

Fonte: OBMEP 2010 · Nível 2. Prova oficial ↗