Questão 16 (Nível 3) da OBMEP 2010

Question

Os círculos que formam as figuras A, B e C são todos iguais. Os comprimentos dos contornos das figuras, indicados com linhas mais grossas, são a, b e c, respectivamente. Qual das alternativas é verdadeira?

Três conjuntos de seis círculos iguais envolvidos por um contorno de linha mais grossa: a Figura A mostra um arranjo retangular de duas linhas por três colunas; a Figura B mostra um arranjo triangular com 1 círculo no topo, 2 no meio e 3 na base; a Figura C mostra um arranjo em paralelogramo com duas linhas de 3 círculos deslocadas lateralmente.

A
a = b = c
B
a < b = c
C
b < c < a
D
a = c < b
E
a = b < c

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 16 (Nível 3) da OBMEP 2010

Nível 3 · Matemática: Círculo: comprimento, arcos e áreas

Os círculos que formam as figuras A, B e C são todos iguais. Os comprimentos dos contornos das figuras, indicados com linhas mais grossas, são a, b e c, respectivamente. Qual das alternativas é verdadeira?

Três conjuntos de seis círculos iguais envolvidos por um contorno de linha mais grossa: a Figura A mostra um arranjo retangular de duas linhas por três colunas; a Figura B mostra um arranjo triangular com 1 círculo no topo, 2 no meio e 3 na base; a Figura C mostra um arranjo em paralelogramo com duas linhas de 3 círculos deslocadas lateralmente.

A
a = b = c
B
a < b = c
C
b < c < a
D
a = c < b
E
a = b < c

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Nas figuras A, B e C traçamos segmentos que unem os centros dos círculos, como na figura a seguir. Marcamos também o valor de alguns ângulos centrais.

[Figura: Três ilustrações nomeadas Figura A, Figura B e Figura C. A Figura A mostra seis círculos dispostos em uma grade 2 \times 3 unidos por um traçado em torno deles, com segmentos ligando os centros formando um retângulo e um ângulo de 90^\circ marcado no canto inferior esquerdo. A Figura B mostra seis círculos dispostos em formato triangular com segmentos ligando os centros formando um triângulo equilátero e um ângulo de 120^\circ marcado no canto inferior esquerdo. A Figura C mostra seis círculos formando um paralelogramo com segmentos ligando os centros e ângulos de 120^\circ e 60^\circ marcados nos cantos esquerdos.]

Para simplificar a exposição, vamos chamar o raio comum das circunferências de r e o comprimento comum das circunferências de l. O perímetro da figura A é igual ao perímetro do retângulo interno mais quatro vezes o comprimento do arco do círculo correspondente a 90^\circ, ou seja, a = 12r + 4 \times \frac{1}{4}l = 12r + l. O perímetro da figura B é igual ao perímetro do triângulo equilátero interior mais três vezes o comprimento do arco do círculo correspondente a 120^\circ, ou seja, b = 12r + 3 \times \frac{1}{3}l = 12r + l. Finalmente, o perímetro da figura C é igual ao perímetro do paralelogramo interno mais duas vezes o comprimento do arco do círculo correspondente a 120^\circ e duas vezes o comprimento do arco do círculo correspondente a 60^\circ, ou seja, c = 12r + 2 \times \frac{1}{3}l + 2 \times \frac{1}{6}l = 12r + l. Logo a = b = c.

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Resolução comentada

Seja r o raio dos círculos. O contorno de cada figura é formado por segmentos retos (tangentes aos círculos) e arcos. Os segmentos retos medem múltiplos de 2r e os arcos, juntos, completam uma volta inteira (2\pi r), já que a soma dos ângulos externos de um polígono convexo é 360^\circ.

Figura A: retângulo com 3 círculos no comprimento e 2 na altura.

Segmentos retos: dois lados de 3\cdot 2r = 6r e dois de 2\cdot 2r = 4r, ou seja, 12r + 8r = 20r.
Arcos: quatro quartos de circunferência, 2\pi r.
a = 20r + 2\pi r.

Figura B: triângulo com 3 círculos em cada lado.

Cada lado reto liga centros de 3 círculos, então mede 2\cdot 2r = 4r entre os centros extremos. O lado paralelo ao contorno tem o mesmo comprimento.
Três lados: 3\cdot 4r = 12r.
Arcos: três arcos de 120^\circ, somando 2\pi r.
b = 12r + 2\pi r.

Confirmando A do mesmo modo: o contorno é o dos centros deslocado de r. Os centros formam retângulo de lados 4r e 2r, perímetro 12r. Logo a = 12r + 2\pi r (o valor 20r acima estava errado: o lado reto vale a distância entre centros, 4r e 2r).

Figura C: os centros formam um paralelogramo de lados 4r (horizontais) e 2r (inclinados), perímetro 12r, e os arcos somam 2\pi r. Logo c = 12r + 2\pi r.

Também em B, os centros formam triângulo de lado 4r, perímetro 12r.

Assim, a = b = c = 12r + 2\pi r.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

Bsupõe que o retângulo da figura A tem contorno menor, sem notar que o perímetro dos centros também é 12r.
Cordena os contornos como se fossem diferentes, mas todos valem 12r+2\pi r.
Dconsidera a figura B maior, ignorando que seus três lados valem 4r entre centros.
Econsidera a figura C maior por ser inclinada, mas o perímetro do paralelogramo dos centros é 12r.

Assuntos: Círculo: comprimento, arcos e áreas, Áreas e perímetros de polígonos.

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Questão 16 no caderno Nível 3 da OBMEP 2010

Fonte: OBMEP 2010 · Nível 3. Prova oficial ↗