Questão 17 (Nível 3) da OBMEP 2010

Resolução comentada

Temos 5 presentes distintos e 4 sobrinhas, com cada uma recebendo pelo menos um. Como são 5 presentes para 4 meninas, exatamente uma delas recebe 2 presentes e as outras três recebem 1 cada.

A boneca já está fixada em Ana. Sobram 4 presentes para distribuir. Há dois casos:

1. Ana recebe só a boneca. Os 4 presentes restantes vão para Bruna, Cecília e Daniela, com cada uma recebendo pelo menos um. Uma delas recebe 2 presentes e as outras duas, 1 cada.

   • Escolher quem recebe 2: 3 modos.
   • Escolher quais 2 presentes ela recebe: \binom{4}{2}=6 modos.
   • Distribuir os 2 presentes restantes entre as outras duas meninas: 2!=2 modos.
   • Total: 3\cdot 6\cdot 2=36.

2. Ana recebe a boneca e mais um presente. Escolhemos o presente extra de Ana: 4 modos. Restam 3 presentes, um para cada uma das outras três meninas: 3!=6 modos.

   • Total: 4\cdot 6=24.

Somando os casos: 36+24=60.

Conferindo de outro jeito: distribuições dos 4 presentes restantes entre as 4 meninas, com Bruna, Cecília e Daniela recebendo pelo menos um, são as sobrejeções de 4 elementos em 3 (36) mais aquelas com Ana recebendo um deles e as outras com um cada (24). Dá o mesmo resultado.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

• AConta só uma parte dos casos, sem considerar as escolhas de quais presentes vão para cada sobrinha.
• BValor sem base na contagem; não corresponde a nenhum dos casos nem à soma deles.
• DExcede o total correto, provavelmente por contar duas vezes algum caso.
• EÉ 5!, que ignora que a boneca está fixada em Ana e a restrição de cada uma ganhar presente.

Assunto: Princípio fundamental da contagem.

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