Questão 15 (Nível 3) da OBMEP 2010

Question

A figura 1 mostra um dado com as faces numeradas de 1 a 6. Com 27 desses dados montou-se um cubo, como na figura 2. Qual é a maior soma possível de todos os números que aparecem nas seis faces do cubo?

Figura 1: dado exibindo as faces 1, 2 e 3. Figura 2: cubo formado por 27 dados menores (bloco 3x3x3), com interrogações em todas as faces visíveis.

A
162
B
288
C
300
D
316
E
324

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 15 (Nível 3) da OBMEP 2010

Nível 3 · Matemática: Lógica e raciocínio lógico

A figura 1 mostra um dado com as faces numeradas de 1 a 6. Com 27 desses dados montou-se um cubo, como na figura 2. Qual é a maior soma possível de todos os números que aparecem nas seis faces do cubo?

Figura 1: dado exibindo as faces 1, 2 e 3. Figura 2: cubo formado por 27 dados menores (bloco 3x3x3), com interrogações em todas as faces visíveis.

A
162
B
288
C
300
D
316
E
324

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Vamos observar o cubo maior, conforme a figura ao lado. Nele aparecem

8 cubos do tipo A, que exibem três faces com um vértice comum;
12 cubos do tipo B, que exibem duas faces com uma aresta comum;
6 cubos do tipo C, que exibem apenas uma face.

[Figura: cubo maior formado por cubinhos menores, com indicações das posições de um cubo A no vértice superior, um cubo B na aresta e um cubo C no centro de uma face lateral]

[Figura: Figura 1 mostrando um dado em perspectiva com as faces 1, 2 e 3 compartilhando um vértice]

Nosso interesse é colocar os maiores números possíveis nas faces do cubo maior. Para isso, basta colocar os dados do tipo A mostrando 4, 5 e 6, os dados do tipo B mostrando 5 e 6 e os dados do tipo C mostrando o 6. É possível fazer isso pois a figura 1 nos mostra que 4, 5 e 6 têm um vértice em comum. Nesse caso a soma dos números que aparecem é máxima e seu valor é

\underbrace{8 \times (4 + 5 + 6)}_{8\text{ dados A}} + \underbrace{12 \times (5 + 6)}_{12\text{ dados B}} + \underbrace{6 \times 6}_{6\text{ dados C}} = 288

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Resolução comentada

Num dado comum, faces opostas somam 7, mas a figura mostra 1, 2 e 3 em torno de um vértice, então 1, 2 e 3 são faces adjacentes e as opostas são 6, 5 e 4. Isso vale para qualquer dado comum.

No cubo 3\times3\times3, os 27 dados se dividem em:

8 dados de vértice (3 faces visíveis, mutuamente adjacentes);
12 dados de aresta (2 faces visíveis, adjacentes);
6 dados de centro de face (1 face visível);
1 dado interno (nenhuma face visível).

Cálculo da maior soma em cada tipo:

Vértice: três faces adjacentes, sem opostas entre si. O maior é 4+5+6=15. Total: 8\cdot15=120.
Aresta: duas faces adjacentes, o maior é 5+6=11. Total: 12\cdot11=132.
Centro de face: uma face, o maior é 6. Total: 6\cdot6=36.
Dado interno: contribui com 0.

Soma máxima:

120+132+36=288

Todos esses valores podem ser atingidos ao mesmo tempo, pois cada dado pode ser girado livremente. É possível posicionar 4, 5, 6 em torno do vértice, pois essas faces são mutuamente adjacentes.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

AParece usar a soma média ou apenas uma face por dado, sem maximizar cada tipo de dado.
CSupõe que faces opostas poderiam aparecer juntas, ou erra a contagem dos dados de aresta/vértice.
DSuperestima: usa valores maiores do que os possíveis para faces visíveis (ex.: 6+5+... sem respeitar adjacência).
ESoma 6 por face visível (54\cdot6), ignorando que um dado não tem duas faces com 6.

Assuntos: Lógica e raciocínio lógico, Poliedros e relação de Euler.

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Questão 15 no caderno Nível 3 da OBMEP 2010

Fonte: OBMEP 2010 · Nível 3. Prova oficial ↗