Questão 8 (Nível 1) da OBMEP 2009

Resolução comentada

Uma soma é ímpar quando um número é par e o outro é ímpar. Então basta contar as peças com um lado par e outro ímpar.

Os números possíveis em cada quadrado são 0, 1, 2, 3, 4, 5 e 6:

• pares: 0, 2, 4, 6, ou seja, 4 números;
• ímpares: 1, 3, 5, ou seja, 3 números.

Como cada peça tem dois lados e a peça (par, ímpar) é a mesma que (ímpar, par), contamos cada combinação uma única vez:

1. Escolha de um número par: 4 possibilidades.
2. Escolha de um número ímpar: 3 possibilidades.
3. Total de peças com soma ímpar: 4 \times 3 = 12.

Conferindo com as peças da figura: 5 e 6 dá 11 (ímpar), 2 e 1 dá 3 (ímpar), 3 e 3 dá 6 (par) e 6 e 0 dá 6 (par). Isso combina com a regra.

Como cada par de números diferentes forma uma só peça, não há repetição na contagem. Peças com dois números iguais (como 3 e 3) têm soma par e ficam de fora.

Alternativa C.

Pegadinha: A alternativa E engana quem conta 4·3 duas vezes, tratando (par, ímpar) e (ímpar, par) como peças diferentes, sendo que no dominó são a mesma peça.

Por que as outras alternativas estão erradas

• ANão corresponde a nenhuma contagem correta; parece ignorar parte das combinações par-ímpar.
• BNão corresponde a nenhuma contagem correta das combinações par-ímpar.
• DÉ o total de peças com soma par ou ímpar menos 7, ou seja, 28 − 7; conta peças que incluem somas pares.
• EConta 4\times3\times2, contando cada peça duas vezes (par-ímpar e ímpar-par).

Assuntos: Princípio fundamental da contagem, Divisibilidade, MMC e MDC.

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