Questão 7 (Nível 1) da OBMEP 2009

Question

Na volta de uma pescaria, Pedro disse para Carlos: “Se você me der um de seus peixes, eu ficarei com o dobro do número de peixes com que você vai ficar”. Carlos respondeu: “E se, em vez disso, eu jogar um de seus peixes no rio, ficaremos com o mesmo número”. Quantos peixes eles pescaram ao todo?

Ilustração de dois meninos pescando com varas à beira da água, com um cesto de peixes entre eles

A
5
B
7
C
8
D
9
E
11

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 7 (Nível 1) da OBMEP 2009

Nível 1 · Matemática: Equações do 1º grau e problemas

Na volta de uma pescaria, Pedro disse para Carlos: “Se você me der um de seus peixes, eu ficarei com o dobro do número de peixes com que você vai ficar”. Carlos respondeu: “E se, em vez disso, eu jogar um de seus peixes no rio, ficaremos com o mesmo número”. Quantos peixes eles pescaram ao todo?

Ilustração de dois meninos pescando com varas à beira da água, com um cesto de peixes entre eles

A
5
B
7
C
8
D
9
E
11

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Como Carlos disse “E se, em vez disso, eu jogar um de seus peixes no rio, ficaremos com o mesmo número”, vemos que Pedro pescou um peixe a mais que Carlos. O total de peixes é então a soma de dois inteiros consecutivos; uma tal soma é sempre ímpar, e a alternativa C) está excluída. Exprimimos agora cada uma das outras alternativas como soma de dois inteiros consecutivos, o menor sendo uma possibilidade para o número de peixes do Carlos e a maior para o número de peixes do Pedro: A) 5 = 2 + 3, B) 7 = 3 + 4, D) 9 = 4 + 5 e E) 11 = 5 + 6. Como Pedro disse “Se você me der um de seus peixes, eu ficarei com o dobro do número de peixes com que você vai ficar”, devemos verificar em qual destas expressões a maior parcela mais 1 é o dobro da menor parcela menos 1. Isto só acontece na alternativa D), pois 5 + 1 = 6 = 2 \times (4 - 1).

Uma solução diferente é a seguinte. Já vimos que Pedro pescou 1 peixe a mais que Carlos. Se Carlos desse um de seus peixes para Pedro, então Pedro ficaria ao mesmo tempo com o dobro do número de peixes de Carlos e com 3 peixes a mais que Carlos; ou seja, Pedro ficaria com 6 peixes e Carlos com 3. Segue que Pedro pescou 5 peixes e Carlos outros 4.

Pode-se também resolver esta questão utilizando elementos de pré-algebra. Se n é a quantidade de peixes do Carlos, então Pedro tem n + 1 peixes. Se Carlos desse um peixe a Pedro, ele ficaria com n - 1 peixes e Carlos ficaria com n + 2. Temos assim n + 2 = 2(n - 1) = 2n - 2, e segue que n = 4.

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Resolução comentada

Chame de P os peixes de Pedro e de C os de Carlos.

Primeira frase: se Carlos der um peixe a Pedro, Pedro fica com P+1 e Carlos com C-1. Pedro fica com o dobro:

P+1 = 2(C-1)

Segunda frase: se Carlos jogar um peixe de Pedro no rio, Pedro fica com P-1 e Carlos continua com C. Os dois ficam com o mesmo número:

P-1 = C

Agora resolvemos o sistema:

Da segunda equação, P = C+1.
Substituindo na primeira: C+1+1 = 2C-2.
Então C+2 = 2C-2, logo C = 4.
Assim P = 5.

Conferindo: se Carlos der um peixe, Pedro fica com 6 e Carlos com 3, e 6 é o dobro de 3. Se um peixe de Pedro for jogado fora, Pedro fica com 4, igual a Carlos. Tudo certo.

Total pescado: P + C = 5 + 4 = 9.

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

AValor pequeno demais; com 5 peixes no total nenhuma divisão satisfaz as duas condições.
BCom 7 peixes as duas condições não são satisfeitas ao mesmo tempo.
CCom 8 peixes as duas condições não são satisfeitas ao mesmo tempo.
ECom 11 peixes as duas condições não são satisfeitas ao mesmo tempo.

Assunto: Equações do 1º grau e problemas.

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Questão 7 no caderno Nível 1 da OBMEP 2009

Fonte: OBMEP 2009 · Nível 1. Prova oficial ↗