Questão 5 (Nível 3) da OBMEP 2009

Question

O diâmetro de uma pizza grande é o dobro do diâmetro de uma pizza pequena. A pizza grande é cortada em 16 fatias iguais. A que fração de uma pizza pequena correspondem 3 fatias da pizza grande?

A
\dfrac{1}{3}
B
\dfrac{3}{8}
C
\dfrac{1}{2}
D
\dfrac{3}{4}
E
\dfrac{5}{8}

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 5 (Nível 3) da OBMEP 2009

Nível 3 · Matemática: Semelhança e Teorema de Tales

O diâmetro de uma pizza grande é o dobro do diâmetro de uma pizza pequena. A pizza grande é cortada em 16 fatias iguais. A que fração de uma pizza pequena correspondem 3 fatias da pizza grande?

A
\dfrac{1}{3}
B
\dfrac{3}{8}
C
\dfrac{1}{2}
D
\dfrac{3}{4}
E
\dfrac{5}{8}

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

A área de uma circunferência é proporcional ao quadrado do diâmetro. Como uma pizza grande tem diâmetro duas vezes maior que o de uma pequena, se a área de uma pizza pequena é A então a área de uma grande é 4A. Três fatias de uma pizza grande têm área \frac{3}{16} \times 4A = \frac{3}{4} A, ou seja, correspondem a \frac{3}{4} de uma pizza pequena.

Pode-se também resolver esta questão usando a fórmula da área de uma circunferência. Seja r o raio da pizza pequena; então sua área é \pi r^2. O raio da pizza grande é 2r e sua área é \pi(2r)^2 = 4\pi r^2. Três fatias da pizza grande têm área \frac{3}{16}(4\pi r^2) = \frac{3}{4}\pi r^2, ou seja, \frac{3}{4} da área de uma pizza pequena.

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Resolução comentada

A quantidade de pizza depende da área, e a área de um círculo é A=\pi r^2. Se o diâmetro dobra, o raio também dobra, então a área não dobra: ela fica multiplicada por 2^2=4.

Chame de A a área da pizza pequena. Então:

Área da pizza grande: 4A.
Cada fatia da grande, que foi dividida em 16 partes iguais, tem área \dfrac{4A}{16}=\dfrac{A}{4}.
Três fatias têm área 3\cdot\dfrac{A}{4}=\dfrac{3A}{4}.

Portanto, 3 fatias da pizza grande correspondem a \dfrac{3}{4} da pizza pequena.

Conferindo: a pizza grande inteira equivale a 4 pizzas pequenas, ou seja, 16 fatias equivalem a 4 pizzas pequenas. Assim, 4 fatias equivalem a 1 pizza pequena, e 3 fatias equivalem a \dfrac{3}{4}.

Alternativa D.

Pegadinha: A alternativa B engana quem acha que dobrar o diâmetro dobra a área, em vez de quadruplicá-la.

Por que as outras alternativas estão erradas

ANão tem base na relação entre as áreas; parece vir de dividir 1 por 3 sem relacionar com o fator 4.
BUsa o dobro da área (grande = 2 pequenas): 3\cdot\frac{2}{16}=\frac{3}{8}, esquecendo que a área é proporcional ao quadrado do diâmetro.
CNão corresponde a nenhum cálculo correto com as 3 fatias; erra a proporção entre as áreas.
ENão decorre da razão de áreas 4:1; é um valor sem justificativa.

Assuntos: Semelhança e Teorema de Tales, Círculo: comprimento, arcos e áreas.

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Questão 5 no caderno Nível 3 da OBMEP 2009

Fonte: OBMEP 2009 · Nível 3. Prova oficial ↗