Questão 6 (Nível 3) da OBMEP 2009

Question

O quadrado da figura tem um vértice na origem, outro no ponto (10,7) e um terceiro no ponto (a,b). Qual é o valor de a + b?

Plano cartesiano com eixos ortogonais e um quadrado sombreado posicionado com um vértice na origem, um vértice no ponto (10,7) no primeiro quadrante, o vértice oposto à origem indicado por (a,b) também no primeiro quadrante, e o quarto vértice no segundo quadrante.

A
20
B
21
C
22
D
23
E
24

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 6 (Nível 3) da OBMEP 2009

Nível 3 · Matemática: Ponto e reta no plano cartesiano

O quadrado da figura tem um vértice na origem, outro no ponto (10,7) e um terceiro no ponto (a,b). Qual é o valor de a + b?

Plano cartesiano com eixos ortogonais e um quadrado sombreado posicionado com um vértice na origem, um vértice no ponto (10,7) no primeiro quadrante, o vértice oposto à origem indicado por (a,b) também no primeiro quadrante, e o quarto vértice no segundo quadrante.

A
20
B
21
C
22
D
23
E
24

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

Reportar erro na questão

Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Sejam O a origem, A o ponto (10,7) e P o ponto (a,b). Traçando por A uma paralela ao eixo x e por P uma paralela ao eixo y, determinamos os pontos B e C como na figura. Como A = (10,7), temos AC = 10 e OC = 7; além disso, OA = AP. Denotamos por \alpha, \beta e \gamma as medidas dos ângulos destacados. Observamos agora que, como o ângulo O\widehat{A}P é reto, temos \alpha + \beta = 90^\circ. Por outro lado, como o triângulo ABP é retângulo em B, temos \beta + \gamma = 90^\circ. Segue que \alpha = \gamma e então os triângulos OAC e ABP são congruentes, pois são triângulos retângulos com um ângulo (além do ângulo reto) comum e hipotenusas OA e AP iguais. Concluímos que AB = 7 e BP = 10, donde a = 7 + 10 = 17 e b = 10 - 7 = 3; logo a + b = 3 + 17 = 20.

[Figura: No plano cartesiano, representação do quadrado com vértices na origem O, em A=(10,7) e em P=(a,b). Pelo ponto A traça-se uma reta horizontal que intersecta o eixo vertical em C=(0,7). Pelo ponto P traça-se uma reta vertical que intersecta a reta horizontal anterior no ponto B, formando os triângulos retângulos OAC e ABP, com ângulos indicados \alpha, \beta e \gamma.]

Outra solução usa a figura à esquerda. Os triângulos ORA e ASP são congruentes, por argumentos semelhantes aos da primeira solução; segue que AS = OR = 10 e PS = AR = 7. Logo a = 3 e b = 17, donde a + b = 20.

[Figura: No plano cartesiano, o quadrado com vértices O, A=(10,7) e P=(a,b). O ponto R=(10,0) está no eixo x, e S=(10,b) é a interseção da reta vertical por A e R com a reta horizontal por P, delimitando os triângulos retângulos congruentes ORA e ASP.]

Ver como a OBMEP publicou

Publicada pela banca.

Resolução comentada

Na figura, a origem O e os pontos (10,7) e (a,b) são vértices do quadrado, e (a,b) fica no primeiro quadrante, no topo. Os dois lados que saem da origem vão até (10,7) e até o quarto vértice, no segundo quadrante. Então (a,b) é o vértice oposto à origem, e a origem e (10,7) são vértices vizinhos.

O conceito é a rotação de 90°: o lado de O até (10,7) é o vetor (10,7). O outro lado que sai de O é esse vetor girado 90° no sentido anti-horário, que dá (-7,10). Esse ponto (-7,10) está no segundo quadrante, como mostra a figura.

O vértice oposto à origem é a soma dos dois vetores:

(a,b)=(10,7)+(-7,10)
a=10-7=3
b=7+10=17

Conferindo: o ponto (3,17) está no primeiro quadrante, e o lado de (10,7) até (3,17) é (-7,10), perpendicular a (10,7) e de mesmo comprimento (\sqrt{149}).

Assim:

a+b=3+17=20

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

BValor sem relação com a rotação; não corresponde às coordenadas (3,17).
CNão corresponde às coordenadas corretas do vértice (3,17).
DResultado de erro de conta ao somar os vetores.
ENão vem de nenhuma soma coerente das coordenadas do vértice oposto.

Assunto: Ponto e reta no plano cartesiano.

Reportar erro na resolução

Ver como caiu na prova

Questão 6 no caderno Nível 3 da OBMEP 2009

Fonte: OBMEP 2009 · Nível 3. Prova oficial ↗