Questão 2 (Nível 2) da OBMEP 2009

Question

A figura mostra cinco triângulos equiláteros. A que fração da área da figura corresponde a área sombreada?

Cinco triângulos equiláteros enfileirados formando um trapézio. Uma região triangular sombreada tem sua base sobre dois triângulos da base inferior e seu vértice no terceiro ponto superior, delimitada por uma linha tracejada.

A
\frac{1}{3}
B
\frac{2}{5}
C
\frac{1}{2}
D
\frac{3}{5}
E
\frac{5}{8}

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 2 (Nível 2) da OBMEP 2009

Nível 2 · Matemática: Áreas e perímetros de polígonos

A figura mostra cinco triângulos equiláteros. A que fração da área da figura corresponde a área sombreada?

Cinco triângulos equiláteros enfileirados formando um trapézio. Uma região triangular sombreada tem sua base sobre dois triângulos da base inferior e seu vértice no terceiro ponto superior, delimitada por uma linha tracejada.

A
\frac{1}{3}
B
\frac{2}{5}
C
\frac{1}{2}
D
\frac{3}{5}
E
\frac{5}{8}

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Resolução comentada

A região sombreada é um triângulo: sua base vai do vértice mais à esquerda até o pé da perpendicular tracejada, e sua altura é a mesma dos triângulos equiláteros.

Chame de \ell o lado de cada triângulo equilátero e de h sua altura. Como os cinco triângulos têm o mesmo tamanho, a área total da figura é

A_{\text{total}}=5\cdot\frac{\ell h}{2}=\frac{5\ell h}{2}.

Para encontrar a base sombreada, observe o último triângulo à direita. Em um triângulo equilátero, a altura também divide a base ao meio. Portanto, o trecho entre o pé da perpendicular e o vértice mais à direita mede \ell/2.

A base inferior inteira mede 3\ell. Assim, a base da região sombreada mede

3\ell-\frac{\ell}{2}=\frac{5\ell}{2}.

Aplicando a fórmula da área do triângulo:

A_{\text{sombreada}}=\frac{\frac{5\ell}{2}\cdot h}{2}=\frac{5\ell h}{4}.

A fração pedida é a área sombreada dividida pela área total:

\frac{A_{\text{sombreada}}}{A_{\text{total}}}=\frac{5\ell h/4}{5\ell h/2}=\frac12.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

AA fração 1/3 é menor que a razão entre a área sombreada e a área total, que é 1/2.
BA fração 2/5 corresponderia à área de apenas dois dos cinco triângulos equiláteros.
DA fração 3/5 corresponderia à área de três triângulos equiláteros, maior que a região sombreada.
EA fração 5/8 supera a metade da área total, que é a área sombreada.

Assuntos: Áreas e perímetros de polígonos, Triângulos: congruência e pontos notáveis.

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Questão 2 no caderno Nível 2 da OBMEP 2009

Fonte: OBMEP 2009 · Nível 2. Prova oficial ↗