Questão 19 (Nível 2) da OBMEP 2009

Resolução comentada

Um pentágono tem 5 vértices, e unindo-os dois a dois temos \binom{5}{2}=10 segmentos possíveis: 5 lados e 5 diagonais.\n\nUma figura com exatamente dois segmentos é uma escolha de 2 desses 10 segmentos (a ordem não importa, pois a figura é a mesma).\n\n1. Número de escolhas:

\n\n2. Confirmando com as figuras do enunciado: há pares que se encontram num vértice (primeira, segunda e terceira figuras), pares que se cruzam (quarta) e pares que não se tocam (quinta). Todos são escolhas diferentes de 2 segmentos, e todos entram na contagem.\n\nComo cada par de segmentos distintos dá uma figura diferente, o total é 45.\n\nAlternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

• AConta só 20 casos, sem justificativa; não corresponde a \binom{10}{2}.
• BValor sem relação com a contagem correta de pares de segmentos.
• CValor sem base na combinação dos 10 segmentos dois a dois.
• DProvavelmente 10\cdot 4, contagem errada dos pares.

Assunto: Combinações e binômio de Newton.

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