Questão 17 (Nível 3) da OBMEP 2009

Resolução comentada

Um pentágono tem 5 vértices, e unindo-os dois a dois temos \binom{5}{2}=10 segmentos possíveis: 5 lados e 5 diagonais.

A figura é formada por exatamente 2 desses segmentos, e a ordem não importa. Basta escolher 2 dos 10 segmentos:

1. Total de pares: \binom{10}{2}=\dfrac{10\cdot 9}{2}=45.

As figuras ilustradas confirmam que todos os tipos de par valem: dois segmentos que se encontram num vértice, dois que não se tocam e dois que se cruzam no interior (as diagonais).

Para conferir, dá para separar por tipo: lado+lado (10 pares), lado+diagonal (25 pares) e diagonal+diagonal (10 pares). Somando, 10+25+10=45.

Como cada par de segmentos diferentes dá uma figura diferente, há 45 figuras.

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

• AValor sem relação com a contagem; não corresponde a \binom{10}{2}.
• BProvavelmente exclui algum tipo de par, como os que se cruzam, ou conta errado.
• CSubconta os pares; não considera todos os 10 segmentos possíveis.
• DErra a contagem de pares, deixando alguns de fora.

Assunto: Combinações e binômio de Newton.

Reportar erro na resolução

O que está errado?

Conta ou raciocínio errado Chega em outra resposta Explicação confusa Outro problema

Detalhes (opcional) Não preencha

Enviar Sem cadastro: não guardamos quem enviou.